上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测

高三数学试卷（文卷）

2014.1

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1.
___________.

2. 不等式
的解是___________.

3.已知数列
中，
，
，则
=___________.

4.已知
是方程
的两根，则
=_______.

5.甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生.为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数是___________.

6.已知函数
的反函数为
，则
_________
__.

7.已知复数
是 实数，则
=___________.

8．二项式
的展开式中，含
的项的系数是___________.

9.在
锐角
中,
，三角形的面积等于
，则
的长为___________.

10.已知实数
满足
，则
的最大值是 .

11. 已知圆锥的底面半径为3，体积是
，则圆锥侧面积等于___________.

12.函数
，若
＜2恒成立的充分条件是
，则实数
的取值范围是　　　　．

13.用
表示集合S中的元素的个数，设
为集合，称
为有序三元组．如果集合
满足
，且
，则称有序三元组
为最小相交．由集合
的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为 ．

14. 已知函数
，对任意
都有
，且
是增函数，则

二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四
个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.

15.设
，则下列不等式一定成立的是（ ）

(A)
(B)
(C)
(D)

16. 方程
的解的个数为（ ）

(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 5

17.已知函数
则

（ ）[来源:学科网ZXXK]

(A) 2010
(B) 2011
(C) 2012
(D) 2013

18. 如图所示，点
是圆
上的三点，线段
与线段
交于圆内一点,若
，则（ ）

(A)
； (B)
；

(C)
； (D)
；

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．[来源:Zxxk.Com]

19. （本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）

如图，四棱锥
的底面是正方形，
⊥平面
，

（1）求证：
；

（2）求异面直线
与
所成角的大小.

20.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明， 声音强度
（分贝）由公式
(
为非零常数)给出，其中
为声音能量.

（1）当声音强度
满足
时，求对应的声音能量
满足的等量关系式；

（2）当人们低声说话，声音能量为

时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为
时，声音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝~120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪.

21、（本题满分14分，第1小题
6分，第2小题8分）

如图，设
是单位圆上一点，一个动点从点
出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.
秒时，动点到达点
，
秒时动点到达点
.设
，其纵坐标满足
.

（1）求点
的坐标，并求
；

（2）若
，求
的取值范围.

22、（本题满分16分，第1
小题4分，第2小题6分，第3小题6分）

已知
为实数，函数
.

（1）当
时，求
的最小值;

（2）当
时,判断
的单调性,并说明理由；

（3）是否存在小于
的实数
，使得对于区间
上的任意三个实数
，都存在以
为边长的三角形，请说明理由.

23、（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）

设项数均为
（
）的数列
、
、
前
项的和分别为
、
、
. 已知

，且集合

=
.

（1）已知
，求数列
的通项公式；

（2）若
，求
和
的值，并写出两对符合题意的数列
、
；

（3）对于固定的
，求证：符合条件的数列对（
，
）有偶数对.

上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测

高三数学试卷答案（文卷）

2014.1

一、填空题.

1.
2.
（或
） 3.
4. 1 5. 30 6.

7.
8． -126 9.
10. 90

11.
12. 1＜
＜4 13. 6 14.6

二、选择题

15. D 16. B 17. D 18. B

三、解答题

19.

解：（1）∵
⊥平面

平面

∴CD⊥SD ……………………3分

又四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD

∴CD⊥平面SDA

平面
[来源:学*科*网Z*X*X*K]

∴SA⊥CD. ……………………………………6分

（2）∵
‖CD

∴

或其补角是异面直线
与
所成角.…………………………8分

由（1），BA⊥平面SDA，∴△SAB是直角三角形.

………………………………………………11分

故异面直线SB与CD所成角的大小为
. …………………………………12分

20.解：（1）

…………………………2分

………………………………
………………4分

…………………………………………………6分

（2）由题意得
………………………………………8分

………………………………………10分

………………………………………………………13分

答：当声音能量
时，人会暂时性失聪. ………………………………14分

21、解: (1)当
时，
，

所以

所以，点B的坐标是（0，1） ……………………………………………………2分

又
秒时，
………………………………………………………4分

. ………………
…………………………………………6分

（2）由
，
，得
，

又
，

，…………………………8分

………………………………10分

，
，
…………12分

所以，
的取值范围是
………………………………14分

22、解：易知
的定义域为
，且
为偶函数.

（1）
时,
………………2分[来源:学&科&网Z&X&X&K]

时
最小值为2. …………………………4分

（2）
时,

时，
递增；
时，
递减；…………………………6分

为偶函数.所以只对
时，说明
递增.

设
，所以
，得

所以
时，
递增；………………………………………………10分

（3）
，
，

从而原问题等价于求实数
的范围，使得在区间
上，恒有
.……12分

当
时,
，
为递增函数.……………………………………14分[来源:学科网ZXXK]

由
，得
与
矛盾.

所以不存在小于
的实数
，使得对于区间
上的任意三个实数
，都存在以
为边长的三角形. ……………………………16分

23、解：（1）
时，

时，
，
不适合该式

故，
…………………………………………………………4分

（2）

又

得，
=46，
=26 …………………………………………………………8分

数列
、
可以为：

① 16,10,8,12；14,6,2,4 ② 14,6,10,16；12,2,4,8

③ 6,16,14,10；4,12,8,2 ④ 4,14,12,16；2,10,6,8

⑤ 4,12,16,14；2,8,10,6 ⑥ 16,8,12,10；14,4,6,2 ……………………10分

（3）
令
，
（
） …………………12分

又
=
，得

=

所以，数列对（
，
）与（
，
）成对出现。 ………………16分

假设数列
与
相同，则由
及
，得
，
，均为奇数，矛盾！

故，符合条件的数列对（
，
）有偶数对。 ……………………18分