杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研

数学试卷（理科） 2014.1.2

考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．

2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1. 计算：
．

2．若直线
的倾斜角是
,则
(结果用反三角函数值表示).

3．若行列式
，则
.

4．若全集
，函数
的值域为集合
，则
.

5．双曲线
的一条渐近线方程为
，则
________.

6．若函数
的反函数为
，则
　　　　　．

7. 若将边长为
的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，则所形成圆柱的体积

等于
.

8. 已知函数
，若
，则
_________.

9. 已知函数
的最小正周期为
，则
_________．

10. 某公司一年购买某种货物
吨，每次都购买
吨，运费为
万元/次，一年的总存储费

用为
万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨．

11. 已知复数
（
为虚数单位），复数
，则一个以
为根的实系数一元二次方程是________.

12． 若
的二项展开式中，所有二项式系数和为
，则该展开式中的常数项为 ．

13．设
，
随机取自集合
，则直线

与圆
有公共点的

概率是 ．

14．已知函数
，定义函数
给出下列命题：

①
； ②函数
是奇函数；③当
时，若
，
，总有
成立，其中所有正确命题的序号是 .

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.

15. 若空间三条直线
满足
，
，则直线
与
………（ ）.

一定平行
一定相交
一定是异面直线
一定垂直

16．“
成立”是“
成立”的 ………（ ）.

充分非必要条件． 　
必要非充分条件．

充要条件． 　 　
既非充分又非必要条件．

17. 设锐角
的三内角
、
、
所对边的边长分别为
、
、
，

且
，
, 则
的取值范围为 ………（ ）.

．

．

．

．

18．定义一种新运算：
，已知函数
，若函数

恰有两个零点，则
的取值范围为 ………（ ）.

．

．

．

．

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 ．

已知正方体
的棱长为
.

（1）求异面直线
与
所成角的大小；

（2）求四棱锥
的体积.

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分 ．

已知向量
，
，其中
.函数
在区间
上有最大值为4,设
.[来源:学+科+网Z+X+X+K]

(1)求实数
的值；

(2)若不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围.

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分 ．

某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中
、
是过抛物线
焦点
的两条弦，且其焦点
，
，点
为
轴上一点，记
，其中
为锐角．

求抛物线
方程；

如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求
的大小？

22． （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分10分，第①问5分,第②问5分，第（2）小题满分6分.

已知椭圆
：
.

(1) 椭圆
的短轴端点分别为
(如图)，直线
分别与椭圆
交于
两点，其中点
满足
，且
.

①证明直线
与
轴交点的位置与
无关；

②若?
面积是?
面积的5倍，求
的值；

(2)若圆
:
.
是过点
的两条互相垂直的直线,其中
交圆

于
、

两点,
交
椭圆
于另一点
.求
面积取最大值时直线
的方程.

23.（本
题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分13分，第①问5分,第②问8分.

设
是数列
的前
项和，对任意
都有
成立， (其中
、
、
是常数) ．

（1）当
，
，
时，求
；

（2）当
，
，
时，

①若
，
，求数列
的通项公式；

②设数列
中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“
数列”.

如果
，试问：是否存在数列
为“
数列”，使得对任意
，都有

，且
．若存在，求数列
的首项
的所

有取值构成的集合；若不存在，说明理由．

[来源:学科网ZXXK]

杨浦区2013学年度第一学期高三模拟测试 2014.1.2

一．填空题（本大题满分56分）

1. 1 ； 2.
； 3.2； 4.
； 5.
； 6. 1 ； 7.
； 8. 2；

9. 理
； 10. 30 ； 11.
； 12. 理15 ；13.理
，

14.理②、③，

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题

15. D ； 16. B； 17. A ； 18.理B；

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题

19. 【解】

（1）因为
，

直线
与
所成的角就是异面直线
与
所成角. ……2分

又
为等边三角形，

异面直线
与
所成角的大小为
. ……6分

（2）四棱锥
的体积

……12分

.

20. 【解】

（1）由题得
……4分

又
开口向上，对称轴为
，在区间
单调递增，最大值为4,

所以，
……7分

（2）由（1）的他，
……8分

令
,则
以
可化为
,

即
恒成立,
……9分

且
,当
,即
时
最小值为0, ……13分

……14分

21. 【解】

理科 （1） 由抛物线
焦点
得,抛物线
方程为
……5分

（2） 设
，则点
……6分

所以，
，既
……7分

解得
……8分

同理：
……9分

……10分

……11分

“蝴蝶形图案”的面积

令
,
……12分

则
,
时,即
“蝴蝶形图案”的面积为8

……14分

22. 【解】

理科

解：（1）①因为
,M (
m,
)，且
，

直线AM的斜率为k1=
,直线BM斜率为k2=
,

直线AM的方程为y=
,
直线BM的方程为y=
, ……2分

由
得
，

由
得
，

；
……4分

据已知，
，

直线EF的斜率

直线EF的方程为
,

令x=0,得

EF与y轴交点的位置与m无关. ……5分

②
,
,
,

,

，

, ……7分

，

整理方程得
，即
，

又有
，

，
，
为所求. ……10分[来源:学科网ZXXK]

(2) 因为直线
,且都过点
,所以设直线
,

直线
, ……12分

所以圆心
到直线
的距离为
,

所以直线
被圆
所截的弦
；

由
,所以

所以
……14分

所以

当
时等号成立,

此时直线
……16分

23【解】

（理科）

解：

（1）当
，
，
时，由
得

①

用
去代
得，
， ②

②—①得，
，
， ……2分

在①中令
得，
，则
0，∴
，

∴数列
是以首项为1，公比为3的等比数列，

∴
=
…….5分[来源:学科网]

（2）当
，
，
时，

， ③

用
去代
得，

， ④

④—③得，
， ⑤
…….7分

用
去代
得，
， ⑥

⑥—⑤得，
，即
， …….8分

∴数列
是等差数列.∵
，
，

∴公差
，∴
……10分

易知数列
是等差数列，∵
，∴
.

又
是“
数列”，得：对任意
，必存在
使

，

得
，故
是偶数， …….12分

又由已知，
，故

一方面，当
时，

，对任意
，

都有
.…….13分

另一方面，当
时，
，
，

则
，

取
，则
，不合题意. …….14分

当
时，
，
，则

， …….15分

当
时，

，
，

， …….16分

又
，∴
或
或
或
…….17分

所以，首项
的所有取值构成的集合为
…… 18分[来源:学#科#网]

（其他解法,可根据【解】的评分标准给分）