2013学年第一学期温州中学高三期中考试数学（理科）试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.已知复数
，则z的虚部为( )

A．1 　 B.－1 　 C. i D. －i

2. 设
，则（ ）

A.
B.
C.
D.

3.命题甲：
或
；命题乙：
，则甲是乙的( )

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件

4.已知函数
，则下面说法错误的是( )

A．
在
上是增函数 B．
的最小正周期为

C．
的图象向右平移
个单位得到曲线

D．
是
图象的一条对称轴

5.已知数列
，若利用

如图所示的程序框图计算该数列的第10项，

则判断框内的条件是（　 ）A．
B．
　C．
D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6.如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，

可得该几何体的体积是( )

A. 2 B .4 C .5 D .7

7.设变量x，y满足约束条件
，

则z＝x－3y的最小值与最大值分别为( )

A．－8，4 B．－
，0
C．－8，－
D．－
，4

8.已知正四棱柱
中，
，
为
的中点，则直线
与平面
的距离为( )

A．2 B．

C．
D．1

9.函数
的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则下列

给定的数中可能是该等比数列的公比的是( )

A．
B．
C．
D．

10.定义域为
的偶函数
满足对
，有
，且当
时，
，若函数
在
上至少有三个零点，则
的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11.已知焦点在y轴上的双曲线的焦距为
，焦点到一条渐近线的距离为
，则双曲线的标准方程为

12.已知实数
满足
，则
的最大值为

13.已知数列
是单调递增的等差数列， 从
中取走任意三项， 则剩下四项依然构成单调递增的等差数列的概率=

14.若椭圆中心为坐标原点，焦点在
轴上，过点（1，
）作圆
的切线，切点分别为
，直线
恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是

15.如图，在半径为1的扇形
中，
，
为弧上的动点，
与
交于点
，则
的最小值是 [来源:Zxxk.Com]

16.若
，

则

17.椭圆
+
=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=
，且
∈[
,
]，则该椭圆离心率的取值范围为

2013学年第一学期温州中学高三期中考试数学（理科）答题卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10





















[来源:学科网]



二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11. 12. 13. 14.

15. 16. 17.

三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18.已知
的内角
所对边分别为
，且
.

(1)求角
的大小；

(2)若
，求边长
的最小值．

19.已知
是数列
的前
项和，且对任意
，有

，

(1)求
的通项公式；

(2)求数列
的前
项和
．

20.如图在四棱锥
中,底面
是边长为
的正方形,

侧面

底面
，且
,

设
、
分别为
、
的中点．[来源:学科网ZXXK]

(1) 求证：
//平面
；

(2) 求证：面

平面
；

(3) 求二面角
的正切值．

[来源:学科网]

21.如图，已知曲线
，
，动直线
与
相切，与
相交于
两点，曲线
在
处的切线相交于点
.

（1）当
时，求直线
的方程；

（2）试问在
轴上是否存在两个定点
，

当直线
斜率存在时，两直线的斜率

之积恒为定值？若存在，求出满足的
点

坐标；若不存在，请说明理由.

22.已知函数
（
为常数）.

(1)当
时,求
的极值；

(2) 设函数
，若
时,
恒成立,求
的取值范围.

2013学年第一学期温州中学高三期中考试数学（理科）参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



A

C

B

A

B

A

A

D

B

B



二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11.
12.
13.
14.

15.
16.
17.

三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18. 解：（1）

∴
，∴

（2）

边长
的最小值为
．

19. 解：（1）当
时，
得

当
时

由
　　　　　　　 　①

得
　　　　　　　②

①
②得

　即
化为

数列
是以
为首项，以
为公差的等差数列，

（2）由（1）得：

20. 法一：(Ⅰ)证明：
为平行四边形

连结
，
为
中点，

为
中点∴在
中
//
　

且

平面
，
平面
∴

(Ⅱ)证明：因为面

面
　平面

面

　

为正方形，
，
平面

所以
平面
　∴

又
，所以
是等腰直角三角形，

且
　　　即

　
，且
、


面
　　

面

又
面
　　面
面

(Ⅲ) 【解】
：设
的中点为
,连结
,
,

则
由(Ⅱ)知
面
,　

，
面
，
，

是二面角

的平面角

中，
　

　故所求二面角的正切值为

法二：如图,取
的中点
, 连结
,
.

∵
, ∴
.

∵侧面

底面
,

,

∴
,

而
分别为
的中点,∴
,

又
是正方形,故
.

∵
,∴
,
.

以
为原点,直线
为
轴建立空间直线坐标系,

则有
,
,
,
,
,
.

∵
为
的中点, ∴

（Ⅰ）证明：易知平面
的法向量为
而
,

且
, ∴
//平面

(Ⅱ)证明：∵
,
∴
,

∴
,从而
,又
,
,

∴
,而
,

∴平面

平面
．

(Ⅲ) 由(Ⅱ)知平面
的法向量为
.

设平面
的法向量为
.∵
,

∴由
可得
,令
,则
,

故
∴
,

即二面角
的余弦值为
,

所以二面角
的正切值为

21.（1）设半圆
上的切点
，直线
，[来源:Zxxk.Com]

得：
。

时，
，得
，又
，求得：
，所求的直线方程为：
。

（2）曲线
在
处的切线

两直线的交点
，即
，设
则

求得：
，代入
化得：

，设
，则

为定值，必须
，解得：
，不妨取

22. (1)
（
）

当
时,
，显然是减函数；

当
时,
,

，
时,
。

综上，
分别在
，
是减函数，在
增函数

，
。

（2）
时,
恒成立，先有
，求得：
，所求
的取值在此范围上讨论即可。

当
时，
恒成立，显然；

当
时，只
须
，即

恒成立。设
在
是增函数，

……………（1）

当
时，同理化得只须

恒成立，

，
，
在
是增函数。得
，此时，
……………（2）

综上，
时,
恒成立，
的取值范围是
。