2013学年第一学期期中杭州地区七校联考

高三年级数学（理科）试 题

命题审校人：萧山中学 李金兴 淳安中学 毛新华

考生须知：

1．本卷满分150分，考试时间120分钟；

2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置；

3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；

4．考试结束后，只需上交答题卷。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把答案写在答题卷中相应的位置上）

1、已知全集
，
，
，那么
（　 ）

A．
B．
C．
D．

2、在等差数列
中，
，则公差
等于（ ）

A．1 B．
C．2 D．－2

3、
若实数
满足不等式组
，则
的最小值为（ ）

A.
B.
C.1 D.2

4、等比数列
中，
，则“
”是“
” 的（ ）

A.充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5、已知
，则
等于（ ）

A．
B．
C．

D．

6、已知函数
，则不等式
的解集是（ ）

A．

B．

C．
或
D．
或

7．已知函数
，若
且
在区间
上有最小值，无最大值，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

8、数列
满足
并且
，则数列
的第100项为（ ）

A．
B．
C．
D．

9、正
边长等于
，点
在其外接圆上运动，则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

10、已知函数
满足
，当
，
，若在区间
内，函数
有三个不同零点，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B.
C．
D．

二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案写在答题卷中相应的位置上）

11、已知
则
= .

12、函数

不存在极值点，则
的取值范围是_________.

13、在△ABC中，角
所对的边分别为
，
，
，则△ABC的面积为
.

14、已知函数
是
上的奇函数，
时，
，若对于任意
，都有
，则
的值为 .

15、已知
，则
的最小值是 .

16、已知不等式
对于
，
恒成立，则实数
的取值范围是____________.

17、已知
中，
，
，点
是线段
（含端点）上的一点，且
，则
的取值范围是 .

三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答写在答题卷中相应的位置上）

18、（14分）已知函数
的定义域为
，

（1）求
；

（2）若
，且
是
的真子集，求实数
的取值范围.

19、（14分）在
中，满足
的夹角为
，
是
的中点，

（1）若
，求向量
的夹角的余弦值；.

（2）若
，点
在边
上且
，如果
，求
的值。

20、（14分）函数
（
为常数）的图象过原点，且对任意
总有
成立；

（1）若
的最大值等于1，求
的解析式
；

（2
）试比较
与
的大小关系.

[来源:学科网]

21、（15分）数列
前
项和
，数
列
满足
（
）
，

（1）求数列
的通
项公式；

（2）求证：当
时，数列
为等比数列；

（3）在
题（2）的条件下，设数列
的前
项和为
，若数列
中只有
最小，

求
的取值范围.

[来源:学#科#网]

22、（15分）设函数
，
；

（1）求证：函数
在
上单调递增；

（2）设
，

，若直线

轴，求
两点间的最短距离.

[来源:学科网ZXXK]

2013学年第一学期期中杭州地区七校联考

高三年级数学（理科）参考答案

最终定稿人：萧山中学 李金兴

一、选择题（每题5分，共50分）

1～5.DBBAD 6～10.CCDBB

二、填空题（每题4分，共28分）

11.
; 12.
; 13.
; 14.1;

15.4; 16.
; 17.
.

三、解答题（前三题每题14分，最后两题每题15分，共72分）[来源:学.科.网]

18、（1）由
， ----------------------------------------------------------2分

解得

或
，
---------------4分

（2）法一：
中
--------------------------------------6分


时，
，此时
，符合题意；----------------------8分


时，
，此时
，由
是
的

真子集得

， -----------------------------------10分


时，
，此时
，由
是
的

真子集得

， -------------------------------12分

综上得
------------------------------------------------------------------14分

法二：因为
时总有
，所以
时总有
----8分

所以
，
；----------------------------------------------------------------12分

此时，显然有
但
，所以
是
的真子集，综上得
--14分

19、（1）设
，则
，-----------------3分

而
，-----------------------------3分

所以向量
的夹角的余弦值等于
。-------8分

（2）在
解得
，-----10分

因为
，所以
，----------------------12分

故
。----------------------------------------------------14分

20、(1)由
-----------------
-----------------4分

解得
，所以
。-------8分

（2）因为
、
，
为最大值，所以
，
---10分

而
、
，所以
，-------------12分

所以
，即
。--------------------------14分

（没注意到
而进行分类讨论的扣2分！）

21、（1）
；-------------------------------------4分

（2）
，

所以
，且
，所以
是以
为首

项、
为公比的等比数列；----------------------------------8分

（3）
；
---------------------------10分

因为数列
中只有
最小，所以
，解得
；-----13分

此时，

，于是，
为递增数列，

所以
时
、
时
，符合题意，综上
。--15分

22、（1）
时，
，所以函数
在
上

单调递增；--------------------
---------------------------------6分

（2）因为
，所以
---------------------8分

所以
两点间的距离等于

，------9分

设
，则
，

记
，则
，

所以
，---------
---------------------------12分[来源:Zxxk.Com]

所以
在
上单调递增，所以
------------14分

所以
，即
两点间的最短距离等于3.---------------15分