温州中学2013学年第一学期期中考试

高三数学试卷（文科）

一、选择题（每小题5分，共50分）

1．已知全集
，集合
，
，那么
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.
为假命题,则
的取值范围为（ ）

A．
B.
C.
D.

3.已知a是函数f(x)=2x-logx的零点，若0

A.f(x0)=0 B. f(x0)<0 C f(x0)>0 D.f(x0)的符号不确定[来源:学科网]

4．已知等差数列
满足
，
，则它的前6项的和
为（ ）

A.2 1 B．13 5 C．9 5 D．2 3

5．在正方体
中，直线
与平面
所成的角的正弦值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

6．已知点
在直线
上运动，则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

7.在
中，角
所对的边分别为
，若
，
，则
( )

A．
B．
C．

D．

8. 在平面直角坐标系中，若不等式组
（
为常数）所表示平面区域的面积等于2，则
的值为（ ）

A. -5 B. 1 C. 2 D. 3

9．圆
，圆
，M、N分别是圆
，
上的动点，P为x轴上的动点，则
的最小值为：（ ）

A．

B．
C．
D．

10．定义在R上的奇函数
，当
时，
，则函数
的所有零点之和为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（每小题4分，共28分）

11. 一个球的外切正方体的表面积等于6，则此球的表面积为　 　．

12. 已知平面向量
则
的值是 .

13. 若关于
的不等式
的解集为
，其中
，
为常数，则

14. 已知
，则
的最小值为

15．函数
是常数，
的部分图象如图所示，则

16. 已知函数
（
，
为常数），当
时，函数
有极值，若函数
有且只有三个零点，则实数
的取值范围是 ．

17.设不等式
的解集为
，若
，则

三、解答题（共72分）

18．（本小题满分14分）已知函数
（
）的最小正周期为
.（1）求
的值及函数
的单调递增区间；

（2）当
时，求函数
的取值范围.

19．（本题满分14分）

四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，ABCE为菱形，∠BAD＝120°，PA＝AB，G、F分别是线段CE、PB的中点．

(Ⅰ) 求证：FG∥平面PDC；

(Ⅱ) 求二面角F－CD－G的正切值．

20. （本题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0,2)，且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B.

(1)求k的取值范围；

(2)是否存在常数k，使得向量
＋
与
共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

21.（本题15分） 已知数列{
}的前n项和为
，
．

（Ⅰ）求证：数列{
}是等比数列；（Ⅱ）设数列{
}的前n项和为
，
=
.试比较
与
的大小.

22.（本小题满分15分） 已知

（1）若
时，求函数
在点
处的切线方程；

（2）若函数
在
上是减函数，求实数
的取值范围；

（3）令
是否存在实数
，当
是自然对数
的底）时，函数
的最小值是3，若存在，求出
的值；若不存在，说明理由。

[来源:学§科§网]

浙江省温州中学2013学年第一学期高三期中考试卷（文科）

一、选择题（每小题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

A

B

A

C

A

B

D

A

D





1．已知全集
，集合
，
，
那
么
（D）

A．
B．
C．
D．

2.
为假命题,则
的取值范围为（A）

A．

B.
C.
D.

3.已知a是函数f(x)=2x-logx的零点，若0

A.f(x0)=0 B. f(x0)<0 C f(x0)>0 D.f(x0)的符号不确定

4．已知等差数列
满足
，
，则它的前6项的和
为（A ）

A.2 1 B．13 5 C．9 5 D．2 3

5．在正方体
中，直线
与平面
所成的角的正弦值等于（ C ）

A．
B．
C．
D．

6．已知点
在直线
上运动，则
的最小值为（ A ）

A．
B．
C．
D．

7.在
中，角
所对的边分别为
，若
，
，则
( B )

A．
B．
C．

D．

8. 在平面直角坐标系中，若不等式组
（
为常数）所表示平面区域的面积等于2，则
的值为（ D ）

A. -5 B. 1 C. 2 D. 3

9．圆
，圆
，M、N分别是圆
，
上的动点，P为x轴上的动点，则
的最小值为：（ A）

A．
B．
C．
D．

10．定义在R上的奇函数
，当
时，
，则函数
的所有零点之和为（ D ）[来源:学|科|网]

A．
B．
C．
D．

二、填空题（每小题4分，共28分）

11. 一个球的外切正方体的表面积等于6，则此球的表面积为　
　　．

12. 已知平面向量
则
的值是

.

13. 若关于
的不等式
的解集为
，其中
，
为常数，则
－14

14. 已知
，则
的最小值为 4

15．函数
是常数，
的部分图象如图所示，则

16. 已知函数
（
，
为常数），当
时，函数
有极值，若函数
有且只有三个零点，则实数
的取值范围是 （0，
．

17.设不等式
的解集为
，若
，则

．

浙江省温州中学2013学年第一学期高三期中考答卷纸（文科）

一、选择题（每小题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

A

B

A

C

A

B

D

A

D



二、填空题（每小题4分，共28
分）

11. 12. 13.

14. 15. 16.

17.

三、解
答题（共72分）

18．（本小题满分14分）已知函数
（
）的最小正周期为
.（1）求
的值及函数
的单调递增区间；

（2）当
时，求函数
的取值范围.

解：（1）

.

因为
最小正周期为
，所以
.

于是
.

由
，
，得
.

所以
的单调递增区间为[
]，
.

（2）因为
，所以
，

则
.

所以
在
上的取值范围是[
].

19．（本题满分14分）

四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为AD的中
点，ABCE为菱形，∠BAD＝120°，PA＝AB，G、F分别是线段CE、PB的中点．

(Ⅰ) 求证：FG∥平面PDC；

(Ⅱ) 求二面角F－CD－G的正切值．

证明：(Ⅰ) 延长BG交AD于点D，

而
,
,所以
,

(Ⅱ)过点F作
易知

过M作
连接FN，则

即所求二面角的平面角

不妨令PA＝AB=1，则
所以
．

20. （本题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0,2)，且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B.

(1)求k的取值范围；

(2)是否存在常数k，使得向量
＋
与
共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

解：(1)圆的方程可写成(x－6)2＋y2＝4，所以圆心为Q(6,0)．过P(0,2)且斜率为k的直线方程为y＝kx＋2，代入圆的方程得x2＋(kx＋2)2－12x＋32＝0，

整理得(1＋k2)x2＋4(k－3)x＋36＝0.①

直线与圆交于两个不同的点A、B等价于Δ＝[4(k－3)]2－4×36(1＋k2)＝42(－8k2－6k)>0，解得－

(
2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)

则
＋
＝(x1＋x2，y1＋y2)，

由方程①得x1＋x2＝－.②

又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4.③

因P(0,2)、Q(6,0)，
＝(6，－2)，

所以
＋
与
共线等价于－2(x1＋x2)＝6(y1＋y2)，将②③代入上式，

解得k＝－.

而由(1)知k∈，故没有符合题意的常数k.

21.（本题15分） 已知数列{
}的前n项和为
，
．

（Ⅰ）求证：数列{
}是等比数列；

（Ⅱ）设数列{
}的前n项和为
，
=
.试比较
与
的大小.

解：（1）由a1=S1=2-3a1得a1=
，

由Sn=2-(
+1)an得Sn-1=2-(
+1)an-1，[来源:Z+xx+k.Com]

于是an=Sn- Sn-1=(
+1)an-1-(
+1)an，

整理得
=
×
（n≥2）,

所以数列{
}是首项及公比均为
的等比数列.

（2）由（Ⅰ）得
=
×
=
.

于是 2nan=n，Tn=1+2+3+…+n=
，

，

An=2[（1-
）+（
-
）+…+
=2（1-
）=
.

[来源:学+科+网]

又
=
,问题转化为比较
与
的大小,即
与
的大小.

设f(n)=
，g(n)=
.

∵f(n+1)-f(n)=
，当n≥3时, f(n+1)-f(n)>0,

∴当n≥3时f(n)单调递增，

∴当n≥4时，f(n) ≥f(4)=1，而g(n)<1, ∴当n≥4时f(n) >g(n)，

经检验n=1,2,3时，仍有f(n) ≥g(n)，

因此，对任意正整数n，都有f(n) >g(n),

即An <
.

22.（本小题满分15分） 已知

（1）若
时，求函数
在点
处的切线方程；

（2）若函数
在
上是减函数，求实数
的取值范围；

（3）令
是否存在实数
，当
是自然对数的底）时，函数
的最小值是3，若存在，求出
的值；若不存在，说明理由。

解：（1）当
时，
∴
…………1分

∴
……2分∴函数
在点
处的切线方程为
…3分

（2）∵函数
在
上是减函数

∴
在
上恒成立 …………4分

令
，有
得
…………6分

∴
…………7分

（3）假设存在实数
，使
在
上的最小值是3

…………8分

当
时，
，∴
在
上单调递减，

（舍去） …………10分

当
时，即
，
在
上恒成立，∴
在
上单调递减

∴
，
（舍去） …………11分

当
时，即
，令
，
，
，

∴
在
上单调递减，在
上单调递增

∴
，
满
足条件
……13分

综上所述，存在实数
，使
在
上的最小值是3 …………14分