(总分160分，考试时间120分钟)

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.

1.已知全集
,集合
,
,则
= ▲ .

2.已知复数
的实部为
,虚部为
,则

(
为虚数单位)的模为 ▲ .

3.某学校为了解该校1200名男生的百米成绩（单位：秒），随机选择了50名学生进行调查.下图是这50名学生百米成绩的频率分布直方图.根据样本的频率分布,
估计这1200名学生中成绩在
（单位：秒）内的人数大约是 ▲ .

4.已知
张卡片（大小,形状都相同）上分别写有
,
,
,
,从中任取两张,则这两张卡片中最大号码是3的概率

为 ▲ .

5.按如图所示的流程图运算,则输出的
▲ .

6.已知向量
,

若
,则实数
= ▲ .

7.已知数列
成等差数列,其前
项和为
,若

,则
的余弦值为 ▲ .

8.设
为两个不重合的平面，
为两条不重合的直线，[来源:Z+xx+k.Com]

现给出下列四个命题：

①若
,则
；

②若
，则
；[来源:学_科_网]

③若
则
；

④若
则
.

其中
,所有真命题的序号是 ▲ .

9.已知函数
,
满足
,
,
,
,则函数
的图象在
处的切线方程为 ▲ .

10.在
中,
,
,则
的面积为 ▲ .

11.已知椭圆
和圆
,若
上存在点
,使得过点
引
圆
的两条切线,切点分别为
,满足
,则椭圆
的离心率的取值范围是 ▲ .

12.设

,其中
为过点
的直线
的
倾斜角,若当
最大时,直线
恰好与圆
相切,则
▲ .

13.已知函数
恰有两个不同的零点,则实数
的取值范围是 ▲ .

14.已知对于任意的实数
,恒有“当
时,都存在
满足方程
”
,则实数

的取值构成的集合为 ▲ .

二、解答题：本大题
共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把
答案写在答题纸的指定区域内.

15．(本小题满分14分)

已知角
、
、
是
的内角，
分别是其对边长，向量
，
，
.

(1)求角
的大小；

(2)若
,求
的长.

[来源:学_科_网Z_X_X_K]

16．(本小题满分14分)

如图，在四面体
中,
,
是
的中点．

(1)求证
:
平面
；

(2)设
为
的重心,
是线段
上一点,且
.

求证:
平面
.

17．(本小题满分14分)

如图,有三个生活小区(均可看成点)分别位于
三点处,
,
到线段
的距离
,
(参考数据:
). 今计划建一个生活垃圾中转站
,为方便运输,
准备建在线段
(不含端点
)上.

设
,试将
到三个小区距离的最远者
表示为
的函数,并求
的最小值；

设
,试将
到三个小区的距离之和
表示为
的函数,并确定当
取何值时,可使
最小?

18．(本小题满分16分)

如图,
是椭圆
的左、右顶点,椭圆
的离心率为
,右准线
的方程为
.

(1)求椭圆方程；

(2)设
是椭圆
上异于
的一点,
直线
交
于点
,以
为直径的圆记为
.

①若
恰好是椭圆
的上顶点,求
截直线
所得的弦长;

②设
与直线
交于点
,试证明:直线
与
轴的交点
为定点,并求该定点的坐标.

19．(本小题满分16分)

已知数列
是等差数列,数列
是等比数列,且对任意的
,都有
.

(1)若
的首项为4,公比为2,求数列
的前
项和
;

(2)若
.

①求数列
与
的通项公式;

②试探究:数列
中是否存在某一项,它可以表示为该数列中其它
项的和？若存在,请求出该项；若不存在,请说明理由．

20．(本小题满分16分)

 已知函数
,其中
.

当
时,求函数
在
处的切线方程;

若函数
在区间(1,2)上不是单调函数,试求
的取值范围;

已知
,如果存在
,使得函数

在
处取得最小值,试求
的最大值.

数学附加试题

(总分40分，考试时间30分钟)

21．[选做题] 在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写
在答题纸的指定区域内.

A.（选修4—1：几何证明选讲）[来源:学。科。网Z。X。X。K]

在直角三角形
中,
是
边上的高,
,
,
分别为垂足,求证：
.

B．（选修4—2：矩阵与变换）

已知曲线
,现将曲线
绕坐标原点逆时针旋转
,求所得曲线
的方程.

C．（选修4—4：坐标系与参数方程）

在极坐标系中,已知圆
的圆心坐标为
,半径为
,试写出圆
的极坐标方程.

[来源:Z§xx§k.Com]

D.（选修4—5：不等式选讲）

已知
为正数，求证：
.

[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.

22
.如图,在四棱锥
中,
⊥底面
,底面
为梯形,
,
,

,点
在棱
上,且
．

(1)求证：平面
⊥平面
；

(2)求平面
和平面
所成锐二面角的余弦值．

23.已知数列
满足
,试证明:

(1)当
时,有
；

(2)
.

数学参考答案

又
，
,则由正弦定理,得
=
,即
4 …………………14分

16．证明:(1)由
……………………………………………………… 3分

同理，
,又∵
,
平面
,∴
平面
………………7分

(2)连接AG并延长交CD于点O,连接EO.因为G为
的重心,所以
,

又
,所以
……………………………………………………………11分

又
,
,所以
平面

……………………………………………11分

因为
,令
,即
,从而
,

当
时,
;当
时,
.

………… 6分

又直线
的方程为
,故圆心到直线
的距离为
…………8分

从而
截直线
所得的弦长为
…………………………10分

②证:设
,则直线
的方程为
,则点P的坐标为
,

又直线
的斜率为
,而
,所以
,

从而直线
的方程为
……………………………………13分

令
,得点R的横坐标为
……………………………………………14分

又点M在椭圆上,所以
,即
,故
,

所以直线
与
轴的交点
为定点,且该定点的坐标为
………………………16分

19.解: (1)因为
,所以当
时,
,两式相减,得
,

而当
时,
,适合上式,从而
……………………3分

又因为
是首项为4,公比为2的等比数列,即
,所以
………………4分

从而数列
的前
项和
…………6分

(2)①设
,则

,所以
,

设
的公比为