延边州2014年高考复习质量检测

理科数学

数学（理）试题头说明

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至3页，第II卷4至6页，共150分。其中第II卷第22—24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．
答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题前，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第Ⅰ卷 (选择题,共60分）

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题
给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将正确选项填写在答题卡上。

1．已知集合
, 集合
, 则

A．
B．
C．
D．

2．设z = 1 – i（i是虚数单位），则复数
＋i2的虚部是

A．1 B．－1 C．i D．－i

3. “
”是“
”的

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．
表示不同直线，M表示平面，给出四个命题：①若
∥M，
∥M，则
∥
或
相交或
异面；②若
M，
∥
，则
∥M；③
⊥
，
⊥
，则
∥
；④
⊥M，
⊥M，则
∥
。其中正确命题为

A．①②
B．②③ C．③④ D．①④

5. 读右侧程序框图，该程序运行后输出的A值为

A．

B．

C．

D．

6．一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系
中的坐标分别是（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），则该四面体中以
平面为投影面的正视图的面积为

A．
B．
C．
D．

7．已知双曲线的一个焦点与抛物线
的焦点重合,且其渐近线的方程为
,则该双曲线的标准方程为

A．
B．
C．
D．

8. 设函数
，则下列结论正确的是

A.
的图像关于直线
对称

B.
的图像关于点
对称

C. 把
的图像向左平移
个单位，得到一个偶函数的图像

D.
的最小正周期为
，且在
上为增函数

9．在
的展开中，
的幂指数是整数的项共有

A．6项 B．5项 C．4项 D．3项

10. 如图，边长为2的正方形ABCD中，

点E，F分别是边AB，BC的中点

△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，

EF，FD折起，使A，B，C三点重合

于点A′,若四面体A′EFD的四个顶点

在同一个球面上，则该球的半径为

A．
B．
C．
D．

11．已知函数
是定义在
上的偶函数，
为奇函数，
，当
时，
log2x，则在
内满足方程
的实数
为

A．
B．
C．
D．

12．若关于x的方程
有五个互不相等的实根，则k的取值范围是

A.

B.

C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作
答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上。

13. 设变量x, y满足约束条件
，则目标函数
的最小值为 。

14．已知直角△ABC中, AB=2，AC=1，D为斜边BC的中点，则向量
在
上的投影为 。

15．已知
中，角
所对的边长分别为
，且角
成等差数列，
的面积
，则实数
的值为 。

16．给出下列命题：

① 已知线性回归方程
，当变量
增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；

② 在进制计算中，
；[来源:Z。xx。k.Com]

③ 若
，且
，则
；

④ “
”是“函数
的最小正周期为4”的充要条件；

⑤ 设函数
的最大值为M，最小值为m，则M＋m=4027，其中正确命题的个数是 个。

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

已知数列
的前
项和为
，
.

（I）求数列
的通项公式；

（II）设
log2an＋1 ，求数列
的前
项和
。

18．(本小题满分12分)

如图1，在△ABC中，BC=3，AC=6，∠C=90°，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图2。

（I）求证：BC⊥平面A1DC；

（II）若CD = 2，求BE与平面A1BC所成角的正弦值。

19．(本小题满分12分)

为迎接2013年“两会”（全国人大3月5日-3月18日、全国政协3月3日-3月14日）的胜利召开，某机构举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题，问题A有四个选项，问题B有五个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题A可获奖金
元，正确回答问题B可获奖金
元．活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答错误，则该参与者猜奖活动中止．假设一个参与者在回答问题
前，对这两个问题都很陌生，试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大．

20．(本小题满分12分)

已知椭圆C:
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切。

（I）求椭圆C的方程；

（II）若过点M(2，0)的直线与椭圆C交于两点A和B，设P为椭圆上一点，且满足

·
（O为坐标原点），当
时，求实数t取值范围。[来源:Zxxk.Com]

21. (本小题满分12分)

已知函数

（I）若函数
在其定义域内为单调函数，求a的取值范围;

（II）若函数
的图像在x=1处的切线斜率为0，且

，（
，
）

证明：对任意的正整数n, 当
时，有
.

请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时必须用2B铅笔将选作题目对应题号后面的方框图涂满、涂黑，请勿多涂
、漏涂。

22.（本小题满分10分） 《选修
4—1：几何证明选讲》

如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10，PB=5。

求：（I）⊙O的半径；

（II）sin∠BAP的值。

23．（本小题满分10分）《选修4-4：坐标系与参数方程》

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中
轴的正半轴重合
，且两坐标系有相同的长度单位，圆C的参数方程为
（
为参数），点Q的极坐标为
。

（I）化圆C的参数方程为极坐标方程；

（II）直线
过点Q且与圆C交于M，N两点，求当弦MN的长度为最小时，直线
的直角坐标方程。

[来源:学&科&网]

24．（本小题满分10分）《选修4-5：不等式选讲》

已知函数
，
。

（I）求不等式
的解集；

（II）若不等式
有解，求实数
的取值范围。

2014年高三质量检测数学理科试题参考答案及评分标准

选择题

1—12：DABDC ACCBB CD

填空题

13. —9； 14.
； 15.
； 16. 4

三．解答题：解答题的解法不唯一，请阅卷教师参考评分标准酌情给分！

17.解：(Ⅰ) 当
时，
， ………………… 1分

当
时，
………………… 3分

即：
，
数列
为以2为公比的等比数列 ………………5分

………………………6分

（Ⅱ）
………………………7分

…………………… 9分

两式相减，得

…………………… 11分

…………………………… 12分

18．解：（Ⅰ）
DE
，DE//BC，
BC
…………2分

又
，AD

…………4分

（Ⅱ）以D为原点，分别以
为x,y,z轴的正方向，

建立空间直角坐标系D-xyz …………5分

说明：建系方法不唯一 ，不管左手系、右手系只要合理即可

在直角梯形CDEB中，过E作EF
BC，EF=2，BF=1，BC=3…………6分

B（3，0，-2）E（2，0，0）C（0，0，-2）A1（0，4，0）
…………8分

…………9分

设平面A1BC的法向量为

令y=1,
…10分

设BE与平面A1BC所成角为
，
…………12分

19.解：(Ⅰ)该参与者随机猜对问题A的概率

随机猜对问题B的概率
． ……………………1分

回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：[来源:学|科|网]

①先回答问题A，再回答问题B，参与者获奖金额
的可能取值为
，2分

则
，

，

． ……………………………3分

数学期望
． ……………5分

②先回答问题B，再回答问题A，参与者获奖金额
的可能取值为
，…6分

则
，

，

． ……………………………9分

数学期望
． ……………10分

．

于是，当
时，
，即先回答问题A，再回答问题B，参与者获奖金额的期望值较大；

当
时，
，无论是先回答问题A，再回答问题B，还是先
回答问题B，再回答问题A，参与者获奖金额的期望值相等；

当
时，
，即先回答问题B，再回答问题A，参与者获
奖金额的期望值较大． ……………………………………12分

20. 解：(Ⅰ) 由题意知，短半轴长为：
， …………1分

∵
，∴
，

即
，∴
， ……… …………………2分

故椭圆
的方程为：
. ………………3分

（Ⅱ）由题意知，直线
的斜率存在，设直线
：
，……4分

设
，
，
，

由
得，
.…………5分

，解得
. …………6分

.

∵
，∴
，解得
，
. ………………7分

∵点
在椭圆上，∴
，

∴
. ………………………8分

∵
，∴
，

∴
，∴
，

∴
，∴
…………………10分

∴
，∵
，∴
，

∴
或
，

∴实数
取值范围为
.
………………12分

21. 解：(Ⅰ) 函数
的定义域是
　　　　　　　　　

因为
所以有
所以
　………………１分

　　　　　 ………………２分

1.当
时，
恒成立，所以函数
在
上单调递减; …３分

2．当
时，若函数
在其定义域内单调递增，

则有
恒成立即

因为
所以
且
时
不恒为0.