2014年福州市高中毕业班质量检测

数学(文科)试卷参考答案及评分标准

1--12; BCDAB CDDBC BB

13.
,都有f(x)≠x 14.1/2 15.10 16.－1007

17. 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，

由
得
所以d=1；…………3分

所以
即
．…………6分

(Ⅱ)证明：
…………8分

所以

……12分

18. 解：（Ⅰ）甲市抽取的样本数据分别是32，34,45,56,63,70；乙市抽取的样本数据为33,46,47,51,64,71.

，
．……3分

因为
，所以甲市的空气质量较好. …… 4分

（Ⅱ）由茎叶图知，甲市6天中有2天空气质量等级为一级，有4天空气质量等级为二级，空气质量等级为二级的4天数据为
，空气质量等级为一级的两天数据为
，则6天中抽取两天的所有情况为
，基本事件总数为15.… 9分

记“恰有一天空气质量等级为一级”为事件A，则事件A包含的基本事件为：
，事件数为8. …… 11分

所以
. 即恰有一天空气质量等级为一级的概率为
.---------12分

19. 解:(I)

=
=

令
，

解得
即
…………4分

,f(x)的递增区间为
………………6分

(Ⅱ)由
,得

而
,所以
,所以
得

因为向量
与向量
共线，所以
，

由正弦定理得:
　　　　 ①……………10分

由余弦定理得:
,即a2+b2－ab=9　②………11分

由①②解得
……………12分

20. 解：（Ⅰ）设正方形AA1C1C的边长为

由于E是
的中点，△EAB的面积为定值。

∥平面
，
点F到平面EAB的距离为定值

即为点C到平面平面
的距离

又
，且
=

即
，
………………5分

（Ⅱ）解法一：将侧面
展开到侧面
得到矩形
,

连结
,交
于点
,

此时点
使得

最小.此时
平行且等于
的一半,

为
的中点.……7分

取AB中点O，连接OE,EF，OC，

为平行四边形，

△ABC为正三角形，

，又
平面ABC，
,且
,
平面
,
平面
，

,又
∥
,
………… 11分

由于E是
的中点，所以
,又
,

所以直线AE与平面
垂直…………12分

解法二：将侧面
展开到侧面
得到矩形
,连结
,交
于点
,

此时点
使得
最小.

此时
平行且等于
的一半,

为
的中点.…………7分

过点
作
交
于
，

则
是
的中点，
.

过点
作
交
于
，则

又
于是在
中，

在
中，

在
中，
，
∴
………… 11分

由于E是
的中点，所以
,又
,

所以直线AE与平面
垂直…………12分

21. 解：（Ⅰ）由题意得,
,…………2分

化简得,
,即
,即点
的轨迹方程 …………4分

（Ⅱ）若存在点E(t，0)满足题设条件.并设M(x1，y1)、N(x2，y2)，

当
⊥x轴时，由椭圆的对称性可知，x轴上的任意一点(异于点E、F)到直线EM、EN的距离相等…………5分

当
与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)．

，得
，

所以
…………7分

根据题意，x轴平分∠MEN，

则直线ME、NE的倾斜角互补，即KME＋KNE＝0．……8分

设E(t，0)，则有
(当x1＝t或x2＝t时不合题意)

又k≠0，所以
，

将y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)代入上式，得
又k≠0，所以
，即
，

，
，…………10分

将
代入，解得t＝2．…………11分

综上，存在定点E(2，0)，

使得x轴上的任意一点(异于点E、F)到直线EM、EN的距离相等。……………12分

22. 解: （Ⅰ）
,依题意得:a=2; ……………2分

曲线y=f(x)在x=1处的切线为2x－y－2=0,

曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为2x－y－1=0. ……………3分

两直线间的距离为
……………4分

（Ⅱ）令h(x)=f(x)－g(x)+1, ,则

当a≤0时, 注意到x>0, 所以
<0, 所以h(x)在(0,+∞)单调递减, ………………5分

又h(1)=0,故00,即f(x)> g(x)-1,与题设矛盾. ……………6分

当a>0时,

当
,
当
时,

所以h(x)在上是增函数,在上是减函数, ……………8分

∴h(x)≤

因为h(1)＝0,又当a≠2时,≠1,
与
不符.

所以a＝2. ……………9分

（Ⅲ）当a<0时,由(2)知
<0,∴h(x)在(0,＋∞)上是减函数,

不妨设0

∴|h(x1)－h(x2)|≥|x1－x2|

等价于h(x1)－h(x2)≥x2－x1,即h(x1)＋x1≥h(x2)＋x2, ……………11分

令H(x)＝h(x)＋x＝alnx－x2＋x＋1,H(x)在(0,＋∞)上是减函数,

∵
(x>0), ……………12分

∴－2x2＋x＋a≤0在x>0时恒成立,∴a≤(2x2－x)min ……………13分

又x>0时, (2x2－x)min=

∴a≤－,又a<0,∴a的取值范围是
. ……………14分