2014年福州市高中毕业班质量检测

数学(理科)试卷参考答案及评分标准

1—10 DABCA DCBBD

11.96 12.1/3 13.0 14.18+
cm2 15.8042

16. 解:(I)甲厂抽取的样本中优等品有7件,优等品率为

乙厂抽取的样本中优等品有8件,优等品率为
………………4分

(II)
的取值为1，2，3. ………………5分

………………7分

………………9分

………………11分

所以
的分布列为

 1

 2

 3













 ………………12分

故
………………13分

17. 解:(I)

=
=
……………2分

令
，

解得
即
…………4分

,
f(x)的递增区间为
………………6分

(Ⅱ)由
,得

而
,所以
,所以
得

因为向量
与向量
共线，所以
，

由正弦定理得:
　　　　 ①……………10分

由余弦定理得:
,即a2+b2－ab=9　②………12分

由①②解得
……………13分

18. 解:(Ⅰ)证明：∵点
、
分别是
、
的中点,∴EF//BC

又∠ABC=90°∴AE⊥EF，∵平面AEFD⊥平面EBCF，

∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE， 又BE⊥EF，

如图建立空间坐标系E﹣xyz．……………2分

翻折前,连结AC交EF于点G,此时点G使得AG+GC最小.

EG=
BC=2,又∵EA=EB=2．

则A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0), D(0,2,2),E(0,0,0),G(0,2,0),

∴
=(﹣2,2,2),
=(-2,-2,0)

∴
=(﹣2,2,2)(-2,-2,0)=0，

∴
⊥
………………5分

(Ⅱ)解法一：设EG=k,

∥平面
,
点D到平面EFCB的距离为即为点A到平面EFCB的距离.

[(3- k)+4]×2=7-k

=

又
=
,

,

=
,

即EG=1…………………8分

设平面DBG的法向量为
,∵G(0,1,0),

∴

(－2,2,2),

则
,即

取x＝1,则y＝2,z＝－1,∴
…………………10分

面BCG的一个法向量为

则cos<
>=
…………………12分

由于所求二面角D-BF-C的平面角为锐角,

所以此二面角平面角的余弦值为
……………………13分

(Ⅱ)解法二:由解法一得EG=1,过点D作DH
EF,垂足H,过点H作BG延长线的垂线垂足O，连接OD. ∵平面AEFD⊥平面EBCF,
DH
平面EBCF，
OD
OB,所以
就是所求的二面角
的平面角. …………9分

由于HG=1,在
OHG中
,

又DH=2，在
DOH中
…………11分

所以此二面角平面角的余弦值为
.…………13分

19. 解: (Ⅰ)设动圆圆心M(x,y),

依题意点M的轨迹是以(1,0)为焦点,直线x=－1为准线的抛物线………2分

其方程为y2=4x.- …………3分

(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2).

由题意得x1≠x2(否则
)且x1x2≠0,则

所以直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+b,

则将y=kx+b与y2=4x联立消去x,得ky2－4y+4b=0

由韦达定理得
-------※…………6分

①当
=
时,
所以
,…………7分

所以y1y2=16,又由※知:y1y2=
所以b=4k;因此直线AB的方程可表示为y=kx+4k,所以直线AB恒过定点(－4,0). …………8分

②当
为定值
时.若
=
,由①知,

直线AB恒过定点M(－4,0) …………9分

当
时,由
,得
=
=

将※式代入上式整理化简可得:
,所以
,…………11分

此时,直线AB的方程可表示为y=kx+
,

所以直线AB恒过定点
…………12分

所以当
时,直线AB恒过定点(－4,0).,

当
时直线AB恒过定点
.…………13分

20. 解:(I)f(x)的定义域为
.

其导数
………1分

①当
时,
,函数在
上是增函数;…………2分

②当
时,在区间
上,
;在区间(0,+∞)上,
．

所以
在
是增函数,在(0,+∞)是减函数. …………4分

(II)当
时, 取
，

则
, 不合题意.

当
时令
,则
………6分

问题化为求
恒成立时
的取值范围.

由于
………7分

在区间
上,
;在区间
上,
.

的最小值为
,所以只需

即
,
,
………9分

(Ⅲ)由于当
时函数在
上是增函数,不满足题意,所以

构造函数:
(
)

………11分

则

所以函数
在区间
上为减函数.

,则
,

于是
,又
,
,由
在
上为减函数可知
.即
…………………14分

21. (1)(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换

解: (Ⅰ)法一:依题意,
.
. ………… 2分

所以
…………4分

法二:
的两个根为6和1,

故d=4,c=2.
…………2分

所以
-…………4分

(Ⅱ)法一:
=2
－
…………5分

A3
=2×63
－13
=
…………7分

法二:

A3
=
…………7分

(2)(本小题满分7分)选修4-4：坐标系与参数方程.

解:(Ⅰ)(曲线C的直角坐标方程为y2=4x, 直线l的普通方程x－y－2=0. ………..4分

(Ⅱ)直线
的参数方程为
(t为参数),

代入y2=4x, 得到
,设M,N对应的参数分别为t1,t2

则

所以|PM|+|PN|=|t1+t2|=
…………7分

(3) )(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲

解:(Ⅰ)法1: f(x)=|x－4|+|x－3|≥|(x－4)－(x－3)|=1,

故函数f(x)的最小值为1. m=1. …………4分

法2:
.------------------1分

x≥4时,f(x)≥1;x<3时,f(x)>1,3≤x<4时,f(x)=1,----------------3分

故函数f(x)的最小值为1. m=1. …………4分

(Ⅱ)由柯西不等式(a2+b2+c2)(12+22+32)≥(a+2b+3c)2=1----------5分

故a2+b2+c2≥
-…………6分

当且仅当
时取等号…………7分