齐齐哈尔市高三第一次模拟考试

数学试卷参考答案（文科）

1．B　z＝i(1－2i)＝－1(i＋2)＝－2－i.

2．C　I＝{x|－3＜x＜3，x∈Z}＝{－2，－1，0，1，2}，

∴IB＝{0，1}，∴A∪(IB)＝{0，1，2}．

3．D　由题意可知：函数y＝1－x(1)在(1，＋∞)上是增函数．

4．A　由a4＋a8＝2a6＝10，得a6＝5，又a10＝6，则a10－a6＝4d＝1，所以a18＝a10＋8d＝6＋2×1＝8.

5．A　∵由题可知样本的平均值为1，∴5(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1，

∴样本的方差为5(1)[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.

6．D　(法一)依题意知0＜n＜4，a＝，c2＝4，∴离心率e＝a(c)＝n(2)＝，∴n＝2.

?(法二)依题意知0＜n＜4，离心率为的双曲线为等轴双曲线，n＝4－n，∴n＝2.

7．C　由三视图可知，该几何体为一个长方体截去一个三棱锥，三棱锥的体积为V＝3(1)×2(1)×1×2×3＝1，长方体的体积为2×2×3＝12，所以该几何体的体积为11，故选C.

8．B　第一次循环，x＝3x－2＝28，不满足条件x＞2014，再次循环；

第二次循环，x＝3x－2＝82，不满足条件x＞2014，再次循环；

第三次循环，x＝3x－2＝244，不满足条件x＞2014，再次循环；

第四次循环，x＝3x－2＝730，不满足条件x＞2014，再次循环；

第五次循环，x＝3x－2＝2188，满足条件x＞2014，结束循环，

因此循环次数为5次．

9．A　因为f(x)＝sin?x－cos?x＝2sin(x－6(π))，所以f(x)＝2sin(x＋m－6(π))为偶函数，故m－6(π)＝2(2k＋1)π(k∈Z)，从而m的最小值为3(2π).

10．C　∵x＞1，∴x－1＞0，则f′(x)＝x2－2x＋（x－1）2(16)＝(x－1)2＋（x－1）2(16)－1≥7，当且仅当x＝3时等号成立．

11．B　A显然成立；对于B，λ(a?b)＝λ|a|·|b|sin〈a，b〉，(λa)?b＝|λa|·|b|sin〈a，b〉，当λ＜0时，λ(a?b)＝(λa)?b不成立；对于C，由a?b＝|a|·|b|sin〈a，b〉，a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉，可知(a?b)2＋(a·b)2＝|a|2·|b|2；对于D，(a?b)2＝|a|2·|b|2－(a·b)2＝(x1(2)＋y1(2))(x2(2)＋y2(2))－(x1x2＋y1y2)2＝(x1y2－x2y1)2，故a?b＝|x1y2－x2y1|恒成立．

12．C　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝－2y2.因为直线的斜率不能为0，故设直线方程为x＝ky＋1，联立直线与抛物线方程得y2－16ky－16＝0，所以y1＋y2＝16k，y1y2＝－16，由y1＝－2y2得y1(2)＝32，y2(2)＝8，代入抛物线方程得x1＝2，x2＝2(1)，所以|AF|＋4|BF|＝x1＋4x2＋20＝24.

13.－9(5)　sin(2(π)＋2α)＝cos?2α＝2cos2α－1＝－9(5).

14．1　首先作出约束条件的平面区域，由图易知直线2x－y＝0平移过y＋1＝0与x－y＋1＝0的交点(0，－1)时，2x－y取得最大值，即(2x－y)max＝2×0－(－1)＝1.

15．16π　取BD的中点为O1，连结OO1，OE，O1E，则四边形OO1AE为矩形，∵OA⊥平面BDE，∴OA⊥EO1，即四边形OO1AE为正方形，则球O的半径R＝OA＝2，

∴球O的表面积S＝4π×22＝16π.

16．4　当n＝1时，2a1＝S1＋1，得a1＝1，

当n≥2时，2(an－?an－1)＝Sn－Sn－1＝an，所以an－1(an)＝2，所以an＝2n－1，

又∵a1＝1适合上式，∴an＝2n－1，∴an(2)＝4n－1.

∴数列{an(2)}是以a1(2)＝1为首项，以4为公比的等比数列．

∴a1(2)＋a2(2)＋…＋an(2)＝1－4(1·（1－4n）)＝3(1)(4n－1)．

所以3(1)(4n－1)<5×2n＋1，即2n(2n－30)<1，易知n的最大值为4.

17．解：(1)设∠ABC＝γ，由三角形ABC为直角三角形可得β＋γ＝2(π).

又因为AB＝AD，所以∠ABC＝∠ADB，所以γ＝α＋β，代入β＋γ＝2(π)得α＋2β＝2(π)，

所以α＝2(π)－2β，所以sin?α＝cos?2β.（6分）

(2)在△ADC中，由正弦定理得sin α(DC)＝sin（α＋β）(AC)，

代入AC＝DC得sin α(DC)＝sin（α＋β）(3DC)，整理得sin(α＋β)＝sin?α，

又因为α＋2β＝2(π)，所以可得α＋β＝2(π)－β，所以sin(α＋β)＝sin(2(π)－β)＝cos?β＝sin?α.

由(1)得sin?α＝cos?2β，?cos?β＝cos?2β，根据二倍角公式可得cos?β＝2(3)或－3(3)(舍去)，

∵0＜β＜2(π)，∴cos?β＝2(3)?β＝6(π).（12分）

18．证明：(1)取PD的中点F，连EF、CF，则EF∥AD且EF＝2(1)AD，由题意四边形BCFE为平行四边形，

∴BE∥CF，又∵BE?平面PDC，CF?平面PDC，∴BE∥平面PDC.(6分)

(2)由题意：∵AD2＋PD2＝AP2，∴PD⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD，又∵AB?平面ABCD，∴PD⊥AB，

又∵BD⊥AB，BD∩PD＝D，∴AB⊥平面PBD.(12分)

19．解：(1)－(x)甲＝10(72＋75＋77＋83＋86＋88＋95＋98＋106＋108)＝88.8，

－(x)乙＝10(78＋79＋86＋87＋91＋92＋93＋95＋100＋101)＝90.2，

∵－(x)甲＜－(x)乙，

∴估计乙班的平均成绩更高．(6分)

(2)20人中及格人数为10，其中甲班及格人数为4，从及格同学中抽取5人，则甲班应抽5×10(4)＝2人，

记甲班得分为95，98，106，108的同学为A1，A2，B1，B2，

则抽取其中2人，基本事件为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(B1，B2)共6种情况，其中恰好抽到一个成绩为100分以上的同学共有4种情况．

故所求概率P＝6(4)＝3(2).(12分)

20．解：(1)∵a＝1，∴f(x)＝xex－x(2(1)x＋1)＋2＝xex－2(1)x2－x＋2，

∴f′(x)＝(ex－1)(x＋1)，所以当－1

当x<－1或x>0时，f′(x)>0，

所以f(x)在(－1，0)上单调递减，在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增.(5分)

(2)由f(x)≥x2－x＋2，得x(ex－2(a＋2)x)≥0，即要满足ex≥2(a＋2)x，

当x＝0时，显然成立；当x>0时，即x(ex)≥2(a＋2)，记g(x)＝x(ex)，则g′(x)＝x2(ex（x－1）)，

所以易知g(x)的最小值为g(1)＝e，所以2(a＋2)≤e，得a≤2(e－1).(12分)

21．解：(1)由已知圆的圆心为(0，－)，故椭圆方程为a2(y2)＋a2－2(x2)＝1.