高三年级（文）数学试卷（本试卷满分150分）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1.设常数
,集合
,
.若
,则
的取值范围为（　　）

A．
B．
C．
D．

2 ．设A,B为直线
与圆
的两个交点,则
（ 　）

A．1 B．
C．
D．2

3．函数
的零点个数为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

4.设斜率为2的直线
过抛物线
的焦点F,且和
轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).

A.
B.
C.
D.

5 ．已知数列
的前
项和为
,
,
,则
（　　）

A．
B．
C．
D．

6．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是(　　)

A. B. C. D.

7．若函数
是偶函数,则
( ).

A．
B．
C．
D．

8.已知圆C与直线x－y＝0 及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( ).

（A）
(B)

(C)
(D)

9.如果不等式
的解集为
，

那么函数
的大致图象是（ ）

[来源:Zxxk.Com]

10.过椭圆
(
)的左焦点
作
轴的垂线交椭圆于点
，
为右焦点，若
，则椭圆的离心率为( ).

A．
B．
C．
D．

11.已知双曲线
的左、右焦点分别是
、
，其一条渐近线方程为
，点
在双曲线上.则
·
＝( ).

A. －12 B. －2 C. 0 D. 4

12．某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( )

A．

B．

C．

D．

第Ⅱ卷

二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）。

13．若等比数列
满足
,则
_________.

14．当函数
取最大值时,
__________.

15.．已知圆C经过直线2x－y＋2＝0与坐标轴的两个交点，又经过抛物线y2＝8x的焦点，则圆C的方程为__________．

16．给出下列命题：[来源:Zxxk.Com]

①已知a，b都是正数，且＞，则a＜b；

②已知f′(x)是f(x)的导函数，若?x∈R，f′(x)≥0，则f(1)＜f(2)一定成立；

③命题“?x∈R，使得x2－2x＋1＜0”的否命题是真命题；

④“x≤1且y≤1”是“x＋y≤2”的充要条件．

其中正确命题的序号是__________．(把你认为正确命题的序号都填上)

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共70分)。

17．（12分）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：

X

1

2

3

4

5



f

a

0.2

0.45

b

c



(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；

(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．

18．（12分）已知直线l：y＝x＋m，m∈R.

(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程．

(2)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2＝4y是否相切？说明理由．

19. （12分）如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别是AC,AB上的中点,

点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2.

(1)求证:DE∥平面A1CB;

(2)求证:A1F⊥BE;

(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ?说明理由.

[来源:学科网ZXXK]

20. （12分）已知椭圆
，椭圆
以
的长轴为短轴，且与
有相同的离心率。

（1）求椭圆
的方程；

（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆
和
上，
，求直线
的方程。

[来源:Z,xx,k.Com]

21．（12分）已知函数f(x)＝ex－ax－1(a∈R)．

(1)讨论f(x)＝ex－ax－1(a∈R)的单调性；

(2)若a＝1，求证：当x≥0时，f(x)≥f(－x)．

选考题：请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。本题满分10分．

22．选修4－1：几何证明选讲

如图，AB是⊙O的直径 ，AC是弦 ，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E.OE交AD于点F.

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若
，求
的值.

23．选修4—4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的
轴的正半轴重合．设点
为坐标原点, 直线

与曲线C的极坐标方程为
．

（1）求直线
与曲线
的普通方程；

（2）设直线
与曲线
相交于Ａ，Ｂ两点，求证：
．

24．选修4－5：不等式选讲

（1）已知|x-4|+|3-x|

（2） 已知a,b,c
,且a+b+c=1,　求证：a2+b2+c2≥
．

高三年级（文）数学答案

选择题BDBBB DCBCB CB

填空题 13.
14.
15. x2＋y2－x－y－2＝0 16. ①

三． 解答题

17. (1)由频率分布表得a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1，即a＋b＋c＝0.35. -------------- 2分

因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝＝0.15. ----------
---- 3分

等级系数为5的恰有2件，所以c＝＝0.1. -------------- 4分

从而a＝0.35－b－c＝0.1.

所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1. -------------- 5分

(2)从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，所有可能的结果为：

{x1，x2
}，{x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{y1，y2}．-------------- 8分

设事件A表示“从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为：

{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}，共4个．--------------10分

又基本事件的总数为10，

故所求的概率P(A)＝＝0.4-------------- 12 分

18. 设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2.

依题意，所求圆与直线l：x－y＋m＝0相切于点P(0，m)，

则解得

所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8. --------------6 分

(2)因为直线l的方程为y＝x＋m，

所以直线l′的方程为y＝－x－m. --------------7分

由得x2＋4x＋4m＝0. ------------
-8分

Δ＝42－4×4m＝16(1－m)．--------------9分

①当m＝1，即Δ＝0时，直线l′与抛物线C相切；

②当m≠1，即Δ≠0时，直线l′与抛物线C不相切．

综上，当m＝1时，直线l′与抛物线C相切；当m≠1时，直线l′与抛物线C不相切------12分

19. 解:(1)因为D,E分别为AC,AB的中点,所以DE∥BC.又因为DE
平面A1CB,所以DE∥平面A1CB. ------3

分

(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC,所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D,DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F
平面A1DC,

所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD,所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE ----------6分

(3)线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ.理由如下:如图,

分别取A1C,A1B的中点P,Q,则PQ∥BC.

又因为DE∥BC,所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP. ----------9分

由(2)知DE⊥平面A1DC,所以DE⊥A1C.

又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C 的中点,

所以A1C⊥DP,所以A1C⊥平面DEP,从而A1C⊥平面DEQ.

故线段A1B上存在点Q,使得A1C⊥平面DEQ. -------------12分

20. 【解析】（Ⅰ）由已知可设椭圆
的方程为
，其离心率为
，故
，则
，故椭圆
的方程为
------------4分

（Ⅱ）解法一
两点的坐标分别为
，

由
及（Ⅰ）知，
三点共线且点
不在
轴上，

因此可设直线
的方程为
.------------6分

将
代入
中，得
，所以
，

将
代入
中，得
，所以
，------------8分

又由
，得
，即
，------------10分

解得
，故直线
的方程为
或
-------------12分

解法二
两点的坐标
分别为
，

由
及（Ⅰ）知，
三点共线且点
不在
轴上，

因此可设直线
的方程为
.

将
代入
中，得
，所以
，

又由
，得
，
，[来源:学_科_网Z_X_X_K]

将
代入
中，得
，即
，

解得
，故直线
的方程为
或

21. (1)解：f′(x)＝ex－a.当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，

当a＞0时，令f′(x)＞0，
得x＞ln a；令f′(x)＜0，得x＜ln a.

综上，当a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；

当a＞0时，增区间是(ln a，＋∞)，减区间是(－∞，ln a)．----------6分

(2)证明：令g(x)＝f(x)－f(－x)＝ex－－2x，g′(x)＝ex＋e－x－2≥0，

∴g(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴g(x)≥g(
0)＝0，

∴f(x)≥f(－x)．------------12分

22. 解：（1）证明：连接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴直线DE是⊙O的切线．-
---------5分

（2）连接BC交OD于G，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，


设AC=4a，AB=5a，由勾股定理得：BC=3a，∴OA=OD=OB=2.5a，∵∠ECG=90°=∠DEC=∠EDG，∴四边形ECGD是矩形，∵OG为△ABC中位线，∴G为BC中点∴DE=CG=1.5a，∵OD∥AE，OA=OB，∴CG=BG，∴OG=
AC=2a，∴DG=EC=2.5a-2a=0.5a，∴AE=AC+CE=4a+0.5a=4.5a，∵OD∥AC，∴△AEF∽△DOF，∴

----------10分

23. （I）直线
:
曲线
：
, ………………５分

（II）设
,由
消去
得

…………………７分

∴y1y2=（x1-4）（x2-4）
=x1x2-4（x1+x2）+16

∴
x1x2+ y1y2= 2
x1x2-4（x1+x2）+16=0．　…………………10分

24.（1）
…………………5分

（２）由a+b+c=1, 得1=（a+b+c）2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤3（a2+b2+c2）

∴a2+b2+c2≥
．（当且仅当a=b=c时取等号） …………………10分