成都七中高2014届高三下期入学考试数学试卷（文科）

命题人：罗志英 张世永 审题人：张世永 巢中俊

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.）

1. 设集合
,
,则
（ ）

A． B．
C．
D．

2. 若复数满足
(为虚数单位),则为 （ ）

A．
B．
C．
D．

3. 公差为的等差数列
.若
是
的等比中项,则
（ ）

A. 2 B. 3 C.
D.

4. 若实数，满足不等式组
，则
的最大值为（ ）

A. 1 B.
C. 9 D.

5 将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为 （ ）

6.在平面直角坐标系
中，直线
与圆
相交于、两点，则弦
的长等于（ ）

A.
B.
C.
D .

7.把函数
的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是( )

8. 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（ ）

A.
B.
C .
D.

9.给出定义：若函数
在D上可导，即
存在，且导函数
在D上也可导，则称函数
在D上存在二阶导函数，记
.若
在D上恒成立，则称函数
在D上为凸函数，以下四个函数在
上不是凸函数的是 (　 　)

A．
＝sin x＋cos x B．
＝ln x－2x

C．
＝－x3＋2x－1 D．
＝xex

10.对任意两个非零的平面向量和
,定义
,若平面向量、满足
,与

的夹角
,且
和
都在集合
中.则
的取值个数最多为（ ）

A.2 B. 4 C .6 D. 8

二、填空题（本大题有5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卷的相应位置.）

11. 命题“
,
”的否定是

12.已知
,若
则

13.椭圆
上点
处的切线方程是

14. 将边长为1 m的正三角形薄铁片，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记
，则s的最小值是________．

15.已知定义在
上的函数
的图像如图所示，对于满足
的任意
给出下列命题：

（1）当
时，
；

（2）当
时，导函数
为增函数；

（3）
；

（4）
.

其中正确的命题序号是 （把所有正确命题的序号都填上）

解答题（本大题共6小题,满分75分.其中16－19每题12分，20题13分，21题14分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.）

16. 已知

（1）将函数
化简成
（
，
，
）的形式；

（2）若
，且
，求
的值.

17.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.

（1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；

（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率.

（注：方差
其中
为
的平均数）

18. 已知数列
的前n项和
数列
的前n项和

（1）求数列
与
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求数列
的前n项和
.

19. 如图，在四棱锥
中，底面
是矩形，
平面
，
，
．
于

（1）求证：平面
⊥平面
；

（2）求直线
与平面
所成的角的正切值；

（3）求点
到平面
的距离．

20.设函数
，其中a，b∈R.

(1)当
时, 讨论函数f(x)的单调性；

(2)若函数f(x)仅在x＝0处有极值，求a的取值范围；

(3)若对于任意的a∈[－2,2]，不等式f(x)≤1在[－1,0]上恒成立，求b的取值范围．

21. 在平面直角坐标系
中，直线
交轴于点A，设是
上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP.

（1）当点P在
上运动时，求点M的轨迹E的方程；

（2）已知
,设H是E上动点,求
+
的最小值，并给出此时点H的坐标；

（3）过点
且不平行与y轴的直线
与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线
的斜率
的取值范围.

成都七中高2014届高三下期入学考试数学试卷（文科参考答案）

CADCB BADDC

11.
,
12.
13.
14. 15.（1）（2）（4）

解（1）

＝

⑵因为
，由⑴有
，即
.

由
，知
.所以
.

.

17解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10.

所以平均数为

方差为

（2）记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：

（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），

（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），

（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A3，B4），

（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4）.

用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），故所求概率为

18. 解（1）由于

当
时,

又当
时

数列
是等比数列,其首项为1,公比为

.
?

?

??得

所以
.

19. 解：方法一：

（1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ.

因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，

所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.

设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，

则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ，

由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN是PN在平面ABM上的射影，

所以