陕西省2014届高三下学期第一次联考

数学（理）试题

考生注意：

1．本试卷共150分，考试时间120分钟．

2．请将各题答案填在试卷后面的答题卷上．

3．本试卷主要考试内容：高考全部内容，

第一部分（共5 0分）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．

1．设
是集合A到集合B的映射，若A={l，2，4}，则对应的集合B等于

A．{0，1} B．{0，2} C．{0，1，2} D．{1，2}

2．下列函数中，在区间（1，+∞）上是增函数的是

A．
B．
C．
D．

3．根据下列算法语句，当输入a=-4时，输出的b的值为

A．-8

B．5

C．5

D．8

4．复数
为虚数单位）在复平面内对应的点为M，则“a=-1”是“点M在第四象限”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知空间上的两点A（—1，2，1）、B（—2，0，3），以AB为体对角线构造一个正方体，则该正方体的体积为

A．3 B．2
C．9 D．3

6．函数
满足
等于

A．
B．
C．2 D．13

7．由0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字且个位上的数字不能为1的3位数共有

A．28个 B．36个 C．39个 D．42个

8．实数x，y满足
如果目标函数z=x—y的最小值为-2，则实数m的值为

A．5 B．6 C．7 D．8

9．在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且角A=60°，若
，且5sinB=3sinC，则ABC的周长等于

A．8+
B．14 C．10+3
D．18

10．设互不相等的平面向量组
，满足①
；②
．若
，则
的取值集合为

A．
B．
C．
D．

第二部分（共1 0 0分）

二、填空题：把答案填在答题卷中的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．

11．双曲线
，则m= 。

12．二项式
的展开式中常数项为160，则a的值为 。

13．已知
，照此规律，第五个等式为 。

14．某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形ABCD（AB AD）的周

长为4米，沿AC折叠使B到B′位置，AB′交DC于P．研究发现当ADP的面积

最大时最节能，则最节能时长方形ABCD的面积为 ．

15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

A．（不等式选做题）函数
的值域为 。

B．（几何证明选做题）如图，已知AB和AC是网的两条弦，过点B作圆的

切线与AC的延长线相交于点D．过点C作BD的平行线与圆相交于点E，

与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=
，则线段CD的长为 ．

C．（坐标系与参数方程选做题）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半

轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为
，它与曲线
为参数）相交于A和B两点，则AB= ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）．

16．（本小题满分12分）

已知向量
且m⊥n，又函数
的图像任意两相邻对称轴间距为

（1）求ω的值；

（2）探讨函数
上的单调性．

17．（本小题满分12分）

（1）设
是公差为d的等差数列，推导公式：若
；

（2）若
的前n项和
，证明当C≠0时，数列
不是等差数列．

18．（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC，PC的中点．

（1）证明：AE⊥平面PAD；

（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为
，求二面角E—AF—C的余弦值．

19．（本小题满分12分）

袋中有大小相同的四个球，编号分别为1、2、3、4，从袋中每次任取一个球，记下其编号．若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放同袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球．

（1）求“第二次取球后才停止取球”的概率；

（2）若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和数学期望，

20．（本小题满分13分）

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
的离心率为
，且过点（3，-1）．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若动点P在直线l：
上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PA=PN，再过P作直线
恒过定点，并求出该定点的坐标．

21．（本小题满分1 4分）

已知函数

（1）当a=-4时，求
的最小值；

（2）若函数
在区间（0，1）上为单调函数，求实数a的取值范围；

（3）当t≥1时，不等式
恒成立，求实数a的取值范围，

高三数学试卷参考答案(理科)

1．C　由题意得B＝{0，1，2}.

2．B　由题意可知：函数y＝在(1，＋∞)上是增函数．

3．A　因为a＝－4<3，所以b＝a－4＝－4－4＝－8.

4．A　∵z＝(a－2i)i＝2＋ai，∴当a＜0时，点M在第四象限，∴“a＝－1”是“点M在第四象限”的充分而不必要条件．

5．D　|AB|＝＝3，设正方体的棱长为a，则a＝3，解得a＝，所以正方体的体积为3.

6．B　因为f·f＝13，所以f(x＋2)＝，解得函数f(x)周期为4，f(99)＝f(3)＝＝.

7．C　由0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的3位数有CA个，其中个位上的数字为1的3位数有CC个，则所求3位数有CA－CC＝39个．

8．D　先做的区域如图可知在三角形ABC区域内，由z＝x－y得y＝x－z可知，直线的截距最大时，z取得最小值，此时直线为y＝x－(－2)＝x＋2，作出直线y＝x＋2，交y＝2x－1于A点，由图象可知，目标函数在该点取得最小值，所以直线x＋y＝m也过A点，由，得，代入x＋y＝m得，m＝3＋5＝8.

9．A　∵S△ABC＝bcsin A＝bc×＝，∴bc＝15.又5sin B＝3sin C，根据正弦定理得5b＝3c.由解得b＝3，c＝5，∴由余弦定理得a＝＝，∴△ABC的周长为8＋.

10．D　由题知a1⊥a2，a2⊥a3，a3⊥a4，则a1＝－a3，a2＝－a4，a1⊥a4，且i的最大值为4.

T＝(a1＋a2＋…＋am)2＝ a＋2(a1·a2＋a1·a3＋…＋am－1·am)

＝m＋2(a1·a2＋a1·a3＋…＋am－1·am)．

若m＝2时，T＝2，Tm＝；若m＝3时，T＝1，Tm＝1；若m＝4时，T＝0，Tm＝0.

11．4　由题可知c＝2，∴m＝c2－a2＝8－4＝4.

12．2　由通项公式得常数项为(－2)4·Ca＝160，解得a＝2.

13.＝6　由前三个式子归纳的规律为＝n，所以第五个式子为＝6.

14．2－2　设AB＝x，DP＝y，BC＝2－x，PC＝x－y.因x>2－x，故1

15.A．[2，＋∞)　f(x)＝|x－1|＋|x－3|≥|(x－1)－(x－3)|＝2.

B. 　如图，连结BC，BE，则∠1＝∠2，∠2＝∠A，

∴∠A＝∠1，又∠B＝∠B，∴△CBF∽△ABC，∴＝，＝，代入数值得BC＝2，AC＝4，又由平行线等分线段定理得＝，解得CD＝.

C. 　把曲线(α为参数)化为直角坐标方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4，把直线的极坐标方程θ＝(ρ∈R)转化为直角坐标方程为y＝x，圆心到直线的距离为d＝＝，所以|AB|＝2＝.

16．解：(1)由题意，得m·n＝0，所以f(x)＝cos ωx·(cos ωx＋sin ωx)＝＋＝sin(2ωx＋)＋.

根据题意知，函数f(x)的最小正周期为3π，

又ω＞0，所以ω＝.(5分)

(2)由(1)知f(x)＝sin(x＋)＋，

∵x∈(－π，π)，∴－＜x＋＜，

当－＜x＋＜，即－π＜x＜时，函数f(x)单调递增；

当≤x＋＜，即≤x＜π时，函数f(x)单调递减．

综上可知，函数f(x)在(－π，)上单调递增，在[，π)上单调递减．(12分)

17．解：(1)因为数列{an}为等差数列，所以am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1+(m＋n－2)d，

ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d＝2a1+ (p＋q－2)d，又m＋n＝p＋q，所以am＋an＝ap＋aq.(6分)

(2)当n＝1时，b1＝S1＝A＋B＋C；当n≥2时，

bn＝Sn－Sn－1＝An2＋Bn＋C－[A(n－1)2＋B(n－1)＋C]＝2An－A＋B，即当n≥2时，

数列{bn}的通项公式为bn＝2An－A＋B，当n＝1时，b1＝A＋B＋C≠A＋B，所以数列{bn}不是等差数列．(12分)

18．(1)证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，可得△ABC为正三角形．

因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.

又BC∥AD，因此AE⊥AD.

因为PA⊥平面ABCD，AE
平面ABCD，所以PA⊥AE.

而PA
平面PAD，AD
平面PAD且PA∩AD＝A，

所以AE⊥平面PAD. (4分)

(2)解：设AB＝2，H为PD上任意一点，连结AH，EH.

由(1)知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．

在Rt△EAH中，AE＝，所以当AH最短时，∠EHA最大，

即当AH⊥PD时，∠EHA最大．此时tan∠EHA＝＝＝
，

因此AH=1.又AD＝2，所以∠ADH＝30°，所以PA＝AD tan 30°＝.(8分)

(法一)因为PA⊥平面ABCD，PA
平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD.

过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，

过O作OS⊥AF于S，连结ES，则∠ESO为二面角E－AF－C的平面角，

在Rt△AOE中，EO＝AE·sin 30°＝，AO＝AE·cos 30°＝.

又F是PC的中点，如图,PC＝＝，

∴AF＝PC＝，sin ∠SAO＝
＝，

在Rt△ASO中，SO＝AO·sin ∠SAO＝，

所以SE＝＝＝，

在Rt△ESO中，cos∠ESO＝＝＝，

即所求二面角的余弦值为.(12分)

(法二)由(1)知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为BC，PC的中点，所以A(0，0，0)，B(，－1，0)，C(，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(，0，0)，F(，，)，

所以＝(，0，0)，＝(，，)．

设平面AEF的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，

则因此

取z1＝－1，则m＝(0，，－1)，因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC＝A，

所以BD⊥平面AFC，故为平面AFC的一个法向量．

又＝(－，3，0)，所以cos〈m，〉＝＝＝.

因为二面角E－AF－C为锐角，所以所求二面角的余弦值为.(12分)

19．解：(1)记“第二次取球后才停止取球”为事件A.

易知第一次取到偶数球的概率为＝，第二次取球时袋中有三个奇数，

所以第二次取到奇数球的概率为，而这两次取球相互独立，

所以P(A)＝×＝.(6分)

(2)若第一次取到2时，第二次取球时袋中有编号为1，3，3，4的四个球；

若第一次取到4时，第二次取球时袋中有编号为1，2，3，3的四个球．

所以X的可能取值为3，5，6，7，

所以P(X＝3)＝×＝，P(X＝5)＝×＋×＝，

P(X＝6)＝×＋×＝，P(X＝7)＝×＝，

所以X的分布列为

X

3

5

6

7



P











数学期望EX＝3×＋5×＋6×＋7×＝.(12分)

20．解：(1)由题意知点(3，－1)在椭圆C上，即＋＝1, ①

又椭圆的离心率为，所以＝＝()2＝，②

联立①②可解得a2＝12，b2＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1.(5分)

(2)因为直线l的方程为x＝－2，设P(－2，y0)，y0∈(－，)，

当y0≠0时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，显然x1≠x2，

联立则＋＝0，即＝－·，

又PM＝PN，即P为线段MN的中点，

故直线MN的斜率为－·＝