昆明第一中学

2014届高中新课程高三上学期期末考试

数学（理）试题

注意事项：

1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2．回答第1卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x ∈A，y∈A，x+y∈A}，则B中所含元素的个数为

A．8 B．9 C．10 D．11

2．现有5人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，这样的排法有

A．12种 B．24种 C．36种 D．48种

3．下面是关于复数
的四个命题：

ρ3：z的共轭复数为1+i；ρ4：z的虚部为-1．

其中的真命题为

A．ρ1，ρ2 B．ρ2，ρ4 C．ρ2，ρ3 D．ρ3，ρ4

4．已知双曲线中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，其图像过点（1，2）且离心率为
，则该双曲线的实轴长为

A．
B．3 C．2
D．6

5．设
为正项等比数列
的前n项和，已知a3 = 2S2 +1，S3=13，

则该数列的公比q=

A．
B．

C．3 D．4

6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为

A．
B．

C．
D．

7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．

B．10

C．30

D．24+ 2

8．已知椭圆
的焦点为F1，F2，P为C上一点，若PF1⊥PF2，
，则C的离心率为

A．
B．
C．
D．

9．已知函数
的图象的一条对称轴为直线
的最小值为

A．2 B．4 C．6 D．8

10．设偶函数
上单调递增，则f（a+1）与f（b -2）的大小关系为

A．f（a +1）=f（b -2） B．

C．f（a +1）>f（b -2） D．f（a+1）

11．已知三棱锥P- ABC的所有顶点都在球0的球面上，AB =5，AC =3，BC =4，PB为球O的直径， PB=10．则这个三棱锥的体积为

A．30
B．15
C．10
D．5

12．已知定义在R上的偶函数f(x），对任意
时

时，关于x的方程
恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是

A．（1，2） B．

C．
D．（2，+∞）

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须回答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知向量
，则
夹角的大小为 。

14．若x、y满足约束条件
的取值范围是 .

15．投到某报刊的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过至少一位初审专家的评审，则初审通过，进入下一轮复审，否则不予录用；通过初审专家的稿件再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为
，复审的稿件能通过评审的概率为
，且各专家独立评审．则投到该报刊的篇稿件被录用的概率为 。

16．数列
的前100项和为 。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边

（I）求sin A；

（Ⅱ）若
，求a．

18．（本小题满分12分）

以下茎叶图记录了甲、乙两名跳水运动员进行跳水训练的成绩（分数），每名运动员跳水次数均为4次．

（I）求甲、乙两名运动员跳水成绩的方差，并比较两名运动员成绩的稳定性；

（Ⅱ）每次都从甲、乙两组成缋中随机各选取一个进行比对分析，共选取了3次（有放回选取）．设选取的两个成绩中甲的成绩大于乙的成绩的次数为X，求X的分布列及数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P - ABCD中，已知AB⊥AD，PA=PD，D为

AD的中点，AB⊥PO，E为线段DC上一点，向量

（I）求证：平面PAD⊥平面PCD；

（Ⅱ）若PO=
，AD=AB =2，点C到平面PBE的距离为
，求平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值，

20．（本小题满分12分）

已知点F（0，a），直线l：y=-a，其中a为定值且a>0，点N为l上一动点，过N作直线l1⊥l．l2为NF的中垂线，l1与l2交于点M，点M的轨迹为曲线C

（I）求曲线C的方程；

（Ⅱ）若E为曲线C上一点，过点E作曲线C的切线交直线l于点Q，问在y轴上是否存在一定点，使得以EQ为直径的圆过该点，如果存在，求出该点坐标，若不存在说明理由．

21．（本小题满分12分）

已知函数

（I）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）设
，证明：当a≥1时．对任意的
，

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，BG=B

（I ）CF∥AB；

（Ⅱ）CB=CD．

23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为
(t为参数)，圆C的极坐标方程为

（I）求直线l和圆C的直角坐标方程；

（Ⅱ）若点P（x，y）在圆C上，求
的取值范围．

24．（本小题满分10分）选修4 -5：不等式选讲

已知函数

（I）当a=l时，解不等式f（x）<5；

（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）<5有实数解，求实数a的取值范围