陕西省2014届高三下学期第一次联考

数学（文）试题

考生注意：

1．本试卷共150分．考试时间120分钟．

2．请将各题答案填在试卷后面的答题卷上．

3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．

第一部分（共5 0分）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．

1．已知集合M={0，l，2，3，4），N={-2，0，2}，则

A．N∩M B．M∩N=M C．M∩N={2} D．M∩N={0，2}

2．函数

A．是偶函数且在（—∞，0）上单调递增 B．是偶函数且在（0，+∞）上单调递增

C．是奇函数且在（0，+∞）上单调递减 D．是奇函数且在（—∞，0）上单调递减

3．向量a=（3，-4），向量b=2，若a·b=-5，那么向量a与b的夹角为

A．
B．
C．
D．

4．根据下列算法语句，当输入a=-4时，输出的b的值为

A．-8

B．-5

C．5

D．8

5．样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为

A．2 B．2．3 C．3 D．3．5

6．复数
为虚数单位）在复平面内对应的点为M，则“a=-1”是“点M在第四象限”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．函数
满足
等于

A．13 B．2 C．
D．

8．右图是一个几何体的三视图（左视图中的弧线是半网），则该几何体的表面积

A．20+3π B．24+3π

C．20+4π D．24+4π

9．实数x，y满足
如果目标函数z=x—y的最小值为-2，则实数m

的值为

A．5 B．6 C．7 D．8

10．某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形ABCD（AB AD）的

周长为4米，沿AC折叠使B到B′位置，AB′交DC于P．研究发现当ADP

的面积最大时最节能，则最节能时ADP的面积为

A．2
—2 B．3—2
C．2—
D．2

第二部分（共100分）

二、填空题：把答案填在答题卷中的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．

11．双曲线
，则m= 。

12．若
= 。

13．已知
，照此规律，第五个等式为 。

14．在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且角A=60°，若
，且5sinB=3sinC，则ABC的周长等于 。

15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

A．（不等式选做题）函数
的值域为 。

B．（几何证明选做题）如图，已知AB和AC是网的两条弦，过点B作圆的

切线与AC的延长线相交于点D．过点C作BD的平行线与圆相交于点E，

与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=
，则线段CD的长为 ．

C．（坐标系与参数方程选做题）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半

轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为
，它与曲线
为参数）相交于A和B两点，则AB= ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）．

16．（本小题满分12分）

已知向量
且m⊥n，又函数
的图像任意两相邻对称轴间距为

（1）求ω的值；

（2）探讨函数
上的单调性．

17．（本小题满分12分）

（1）设
是公差为d的等差数列，推导公式：若
；

（2）若
的前n项和
，证明当C≠0时，数列
不是等差数列．

18．（本小题满分12分）

已知四边形AI3CD为直角梯形，∠ADC= 90°，AD∥BC，A/3D为等腰直角三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为PA的中点，AD=2BC=2
，PA =3PD=3．

（1）求证：BE∥平面PDC；

（2）求证：AB⊥平面PBD．

19．（本小题满分12分）

某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1，2，3，4，5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：

（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，c，c的值；

（2）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取两件（假定每件日崩品被取出的可能陆相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．

20．（本小题满分13分）

已知椭圆
，斜率为1的直线l交椭圆于A、B两点．

（1）求弦AB长的最大值；

（2）求ABO面积的最大值及此时直线l的方程（O为坐标原点）．

21．（本小题满分14分）

已知函数

（1）若
；

（2）若
在区间（0，+∞）上单调递增，试求志的取值范围；

（3）求证：

高三数学试卷参考答案(文科)

1．D　M∩N＝{0，2}．

2．B　函数f(x)的定义域为x≠0，当x>0时，f(x)＝ln x2＝2ln x，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(－x)＝ln (－x)2＝ln x2＝f(x)，所以f(x)为偶函数．

3．C　cos〈a，b〉＝＝＝－，即向量a与b的夹角为.

4．A　因为a＝－4<3，所以b＝a－4＝－4－4＝－8.

5．A　∵由题可知样本的平均值为1，∴＝1，解得a＝－1，

∴样本的方差为[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.

6．A　∵z＝(a－2i)i＝2＋ai，∴当a＜0时，点M在第四象限，∴“a＝－1”是“点M在第四象限”的充分而不必要条件．

7．D　因为f·f＝13，所以f(x＋2)＝，解得函数f(x)周期为4，f(99)＝f(3)＝＝.

8．A　根据几何体的三视图可知，该几何体是一个正方体和一个半圆柱的组合体，其中，正方体的棱长为2，半圆柱的底面半径为1，母线长为2.故该几何体的表面积为4×5＋2×π＋2×π＝20＋3π.

9．D　先做的区域如图可知在三角形ABC区域内，由z＝x－y得y＝x－z可知，直线的截距最大时，z取得最小值，此时直线为y＝x－(－2)＝x＋2，作出直线y＝x＋2，交y＝2x－1于A点，由图象可知，目标函数在该点取得最小值，所以直线x＋y＝m也过A点，由，得，代入x＋y＝m得，m＝3＋5＝8.

10．B　设AB＝x，DP＝y，BC＝2－x，PC＝x－y.因x>2－x，故1

11．4　由题可知c＝2，∴m＝c2－a2＝8－4＝4.

12．1　∵cos 2＜0，∴f(cos 2)＝1.

13.＝6　由前三个式子归纳的规律为＝n，所以第五个式子为＝6.

14．8＋　∵S△ABC＝bcsin A＝bc×＝，∴bc＝15.又5sin B＝3sin C，根据正弦定理得5b＝3c.由解得b＝3，c＝5，∴由余弦定理得a＝＝，∴△ABC的周长为8＋.

15.A．[2，＋∞)　f(x)＝|x－1|＋|x－3|≥|(x－1)－(x－3)|＝2.

B. 　如图，连结BC，BE，则∠1＝∠2，∠2＝∠A，

∴∠A＝∠1，又∠B＝∠B，∴△CBF∽△ABC，∴＝，＝，代入数值得BC＝2，AC＝4，又由平行线等分线段定理得＝，解得CD＝.

C. 　把曲线(α为参数)化为直角坐标方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4，把直线的极坐标方程θ＝(ρ∈R)转化为直角坐标方程为y＝x，圆心到直线的距离为d＝＝，所以|AB|＝2＝.

16．解：(1)由题意，得m·n＝0，所以f(x)＝cos ωx·(cos ωx＋sin ωx)＝＋＝sin(2ωx＋)＋.

根据题意知，函数f(x)的最小正周期为3π，

又ω＞0，所以ω＝.(5分)

(2)由(1)知f(x)＝sin(x＋)＋，

∵x∈(－π，π)，∴－＜x＋＜，

当－＜x＋＜，即－π＜x＜时，函数f(x)单调递增；

当≤x＋＜，即≤x＜π时，函数f(x)单调递减．

综上可知，函数f(x)在(－π，)上单调递增，在[，π)上单调递减．(12分)

17．解：(1)因为数列{an}为等差数列，所以am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1+ (m＋n－2)d，

ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d＝2a1+ (p＋q－2)d，又m＋n＝p＋q，所以am＋an＝ap＋aq.(6分)

(2)当n＝1时，b1＝S1＝A＋B＋C；当n≥2时，

bn＝Sn－Sn－1＝An2＋Bn＋C－[A(n－1)2＋B(n－1)＋C]＝2An－A＋B，即当n≥2时，

数列{bn}的通项公式为bn＝2An－A＋B，当n＝1时，b1＝A＋B＋C≠A＋B，所以数列{bn}不是等差数列．(12分)

18．证明：(1)取PD的中点F，连EF、CF，则EF∥AD且EF＝AD，由题意四边形BCFE为平行四边形，

∴BE∥CF，又∵BE
平面PDC，CF
平面PDC，∴BE∥平面PDC.(6分)

(2)由题意：∵AD2＋PD2＝AP2，∴PD⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD，又∵AB
平面ABCD，∴PD⊥AB，

又∵BD⊥AB，BD∩PD＝D，∴AB⊥平面PBD.(12分)

19．解：(1)由频率分布表得a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1，即a＋b＋c＝0.35.

因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝＝0.15.

等级系数为5的恰有2件，所以c＝＝0.1.

从而a＝0.35－b－c＝0.1.所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.(6分)

(2)从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，所有可能的结果为：

{x1，x2}，{x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{y1，y2}．

设事件A表示“从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为：{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}，共4个．

又基本事件的总数为10，故所求的概率P(A)＝＝0.4.(12分)

20．解：(1)设l：y＝x＋b，代入x2＋4y2＝4，整理得5x2＋8bx＋4b2－4＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，

|AB|＝·|x1－x2|＝·＝.

由Δ＞0?64b2－20(4b2－4)＞0?b2＜5，

∴当b＝0时，|AB|max＝.(7分)

(2)点O到直线l的距离d＝，

∴S△ABO＝|AB|·d＝≤·＝1，

当且仅当5－b2＝b2，即b＝±时取等号，

∴(S△ABO)max＝1，此时l：2x－2y±＝0.(13分)

21．解：(1)f(x)＝ex－x2，则h(x)＝f′(x)＝ex－x，∴h′(x)＝ex－1＞0(x＞0)，∴h(x)＝f′(x)在(0，＋∞)上递增，∴f′(x)＞f′(0)＝1＞0，∴f(x)＝ex－x2在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)＞f(0)＝1.(4分)

(2)f′(x)＝ex－2kx，下求使f′(x)＞0(x＞0)恒成立的k的取值范围．

若k≤0，显然f′(x)＞0，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；

记φ(x)＝ex－2kx，则φ′(x)＝ex－2k，

当0＜k＜时，∵ex＞e0＝1，2k＜1，∴φ′(x)＞0，则φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，

于是f′(x)＝φ(x)＞φ(0)＝1＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

当k≥时，φ(x)＝ex－2kx在(0，ln 2k)上单调递减，在(ln 2k，＋∞)上单调递增，

于是f′(x)＝φ(x)≥φ(ln 2k)＝eln 2k－2kln 2k，由eln 2k－2kln 2k≥0得2k－2kln 2k≥0，则≤k≤，

综上，k的取值范围为(－∞，]．(8分)

(3)由(1)知，对于x∈(0，＋∞)，有f(x)＝ex＞x2＋1，∴e2x＞2x2＋1，

则ln(2x2＋1)＜2x，从而有ln(＋1)＜(n∈N*)，于是ln(＋1)＋ln(＋1)＋ln(＋1)＋…＋ln(＋1)＜＋＋…＋＜＋＋…＋＝2＋2(1－＋…＋－)＝4－＜4，故(＋1)(＋1)(＋1)…(＋1)＜e4.(14分)