泉州五中、莆田一中、漳州一中2014届高三上学期期末联考

数学（理）试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．）

1．设
是虚数单位，则
等于（ ）

A、0 B、
C、
D、

2. 若
是向量，则“
”是“
”的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．由曲线
，直线
，
和
轴围成的封闭图形的面积（如图）可表示为（ ）

A．
B．

C．
D．

4．已知直线
⊥平面
，直线m
，给出下列命题：

①
∥
②
∥m; ③
∥m
④
∥
其中正确的命题是（ ）

A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①③

5.已知
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

6． 一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积


为（ ）

A.
B.
C.
D.

8.抛物线
的焦点为
,点
为该抛物线上的动点,又点
,则
的最小值是（　）

A．
B．
C．
D．

9．已知函数
有两个极值点,则实数
的取值范围是(　　）

A．
B．
C．
D．

10．已知f(x)=
，在区间[0,2]上任取三个数
,均存在以
为边长的三角形，则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

11．已知

12. 观察下列等式:

…

照此规律, 第n个等式可为 .

13.已知
、
分别是双曲线
的左、右焦点,
为双曲线上的一点,若
,且
的三边长成等差数列,则双曲线的离心率是____.

14．已知平面上的线段
及点
，在
上任取一点
，线段
长度的最小值称为点
到线段
的距离，记作
．设
是长为2的线段，点集
所表示图形的面积为________.

15.如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E， 使DE=CD，若点P是以点A为圆心，AB为半径的 圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量
，则
的最小值为____，
的最大值为_____；

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本题满分13分）

已知
函数
．

(Ⅰ) 求函数
的最小正周期和对称轴的方程；

(Ⅱ)设
的角
的对边分别为
，且
，求
的取值范围．

17．（本题满分13分）

已知数列
为等差数列，且

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）证明：

18．(本题满分13分）

如图,
是边长为
的正方形，
平面
，
，
，
与平面

所成角为
.

(Ⅰ)求证：
平面
；

(Ⅱ)求二面角
的余弦值；

(Ⅲ)设点
是线段
上一个动点，试确定点

的位置，使得
平面
，并证明你的结论.

19．（本题满分13分）

已知椭圆
:
的左焦点为
,且过点
. (Ⅰ)求椭圆
的方程;

(Ⅱ)设过点P(-2,0)的直线与椭圆E交于A、B两点，且满足
.

(1)若
,求
的值;

(2) 若M、N分别为椭圆E的左、右顶点，

证明:

20．（本题满分14分）

已知函数

(Ⅰ)当
时，求函数
的极小值；

(Ⅱ)当
时，过坐标原点
作曲线
的切线，设切点为
，求实数
的值；

(Ⅲ)设定义在
上的函数
在点
处的切线方程为

当
时，若
在
内恒成立，则称
为函数
的“转

点”．当
时，试问函数
是否存在“转点”.若存在,请求出“转点”的横坐标,若不存在,请说明理由．

21．本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.

（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换

已知矩阵
，记绕原点逆时针旋转
的变换所对应的矩阵为

（Ⅰ）求矩阵
； （Ⅱ）若曲线
：
在矩阵
对应变换作用下得到曲线
，求曲线
的方程．

（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，以坐标原点
为极点，
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线
的极坐标方程为
，直线
的参

数方程为
为参数，
）．

（Ⅰ）化曲线
的极坐标方程为直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线
经过点
，求直线
被曲线
截得的线段
的长．

（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲

设不等式
的解集与关于
的不等式
的解集相同．

（Ⅰ）求
，
的值；

（Ⅱ）求函数
的最大值，以及取得最大值时
的值.

2014届高三上学期期末理科数学试卷参考答案及评分标准

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)

1.D 2.A 3.B 4.D 5. D 6. D 7. A 8.B 9.B 10.C

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．

11.
12．
（注：没写
不扣分） 13．
14.
15.
的最小值是1；最大值为
.

三、解答题(本大题共6小题，共80分)

16．解：（Ⅰ）

…………3分 故
的最小正周期为
………4分

由
（
）得对称轴的方程为
…6分

（Ⅱ）由
得
即

………8分

解法一：由正弦定理得

=
……………10分

……………11分

的取值范围为
. ………13分

解法二：由余弦定理得

………10分
解得
……………11分

又
，所以
的取值范围为
……13分

17．（I）解：设等差数列
的公差为d.

由
即d=1. …3分

所以
………5分 即
……7分

（II）证明：

， …………9分

………10分
…12分 ∴
…13分

18.(Ⅰ)证明： 因为
平面
， 所以
. ……………2分

因为
是正方形，所以
，又
相交

从而
平面
. …………………4分

(Ⅱ)解：因为
两两垂直，所以建立空间直角 坐标系
如图所示. 因为
与平面
所成角为
， 即
， ………5分

所以
.由
可知
，
. …6分

则
，
，
，
，
，

所以
，
， ………7分

设平面
的法向量为

，则
，即
，

令
，则

. ………8分

因为
平面
，所以
为平面
的法向量，
，

所以
. ……9分

因为二面角为锐角，所以二面角
的余弦值为
. ………10分

(Ⅲ)解：点
是线段
上一个动点，设
. 则
，

因为
平面
，所以

,……11分

即
，解得
. ………12分

此时，点
坐标为
，
，符合题意. …………13分

19. 【解析】(Ⅰ)因为焦点为
， C=1，又椭圆过
，

取椭圆的右焦点
，
，由
得
，

所以椭圆E的方程为
……………3分

（Ⅱ）（1）设
,
,

显然直线
斜率存在,设直线
方程为

由
得:

得
,

,

,
,………5分

,符合
,由对称性不妨设
,

解得
,

…………8分

(2)若
,则直线
的方程为
,

将
代入得
, 不满足题意,
同理
……………9分

,
,

…11分

………13分

20．【解析】(I)当
时，
，

当
时，
；当
时
；当
时
.

所以当
时，
取到极小值
。……………………………3分

(II)
，所以切线的斜率

整理得
,显然
是这个方程的解，………………5分

又因为
在
上是增函数，

所以方程
有唯一实数解，故
.……………………7分

(III)当
时，函数
在其图象上一点
处的切线方程为

，

设
，则
，

………………………8分

若
，
在
上单调递减，

所以当
时
，此时
；

所以
在
上不存在“转点”.…………………9分

若
时,
在
上单调递减,所以当
时,
，此时
，

所以
在
上不存在“转点”.……………11分

若
时
，即
在
上是增函数，

当
时，
，

当
时，
， 即点
为“转点”，……13分

故函数
存在“转点”，且
是“转点”的横坐标.………………14分

21. （1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换

解：（Ⅰ）由已知得，矩阵
．… 3分

（Ⅱ）矩阵
，它所对应的变换为
解得

把它代人方程
整理，得
，

即经过矩阵
变换后的曲线
方程为
…………………7分

（注：先计算
，再求曲线
方程，可相应酌情给分）

（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲

解：（Ⅰ）不等式
的解集为
，

所以，不等式
的解集为
，
．……3分

（Ⅱ）函数的定义域为
，显然有
，由柯西不等式可得：

，……5分

当且仅当
时等号成立,即
时,函数取得最大值
.…7分