卷Ⅰ(选择题 共60分)

一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项正确．）

1．已知复数
，
是
的共轭复数，且
则a、b的值分别为

A．
B．
C．
D．

2．已知等差数列
中，
, 则
的值是

A． 15 B．30 C．31 D．64

3．实数
满足条件
,则
的最小值为

A
．16 B．4 C．1 D．

4．二项式
展开式中的常数项是

A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项

5．直线
的方向向量为
且过抛
物线
的焦点，则直线
与抛物线围成的封闭图形面积为

A．
B．
C．
D．

6．已知
，则
是
成立的

A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

7．设m，n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程
有实根的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．右面是“二分法”解方程的流程图．在①~④处应填写的内容分别是

A． f(a)f(m)<0 ； a=m； 是； 否

B． f(b)f(m)<0 ； b=m； 是； 否

C． f(b)f(m)<0 ； m=b； 是； 否

D． f(b)f(m)<0 ； b=m； 否； 是

9．定义：
，已知数列
满足：

，若对任意正整数
，都有

成立，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．如图，正方体
的棱长为
，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于（ ）

A．
B．
C．
D．

11． 已知
，
，规定：当
时,
；当
时,
，则
（ ）

A． 有最小值
,最大值1 B． 有最大值1,无最小值

C． 有最小值
,无最大值 D． 有最大值
,无最小值

12． 已知双曲线
上一点
，过双曲线中心的直线交双曲线于
两点，记直线
的斜率分别为
，当
最小时，双曲线离心率为

A ．
B．
C
D

卷Ⅱ(非选择题 共90分)

二．填空题（共5小题，每小题
5分，计30分）[来源:Zxxk.Com]

13．已知函数
满足
=1 且
，则
=___________．

14．若
，则满足不等式
的ｍ的取值范围为　　　．

15．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成三 棱锥C－ABD，它的主视图与俯视图如右上图所示，则二面角 C－AB－D的正切值为 ．

16．如右图，在直角梯形ABCD中，AB//DC,AD⊥AB ,
AD=DC=2,AB=3,点
是梯形
内或边界上的一个动点，点N是DC边的中点，则
的最大值是________ .

三．解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．

17．（本题满分12分）若

的图像与直线
相切，并且切点横坐标依次成公差为
的等差数列．

(1)求
和
的值； [来源:学科网]

(2) ⊿ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．若
是函数
图象的一个对称中心，且a=4，求⊿ABC面积的最大值．

18．(本小题满分12分)某高校在2012年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85
)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率
分布直方图如图所示．

(1)分别求第3，4，5组的频率；

(2) 若该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，

(ⅰ) 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和
学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率；

(ⅱ) 学校决定在这已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受考官L的面试，设第4组中有
名学生被考官L面试，求
的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）如图，四棱锥
中，底面
为平行四边形，
，
，
⊥底面
．

(1)证明：平面
平面
；

(2)若二面角
为
，求
与平面
所成角的正弦值．

20.（本小题满分12分）已知圆

,若椭圆
的右顶点为圆
的圆心，离心率为
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）若存在直线
，使得直线
与椭圆
分别交于
两点，与圆
分别交于
两点，点
在线段
上，且
，求圆
的半径
的取值范围．

21．（本小题满分12分）设函数

（1）若关于x的不等式
在
有实数解，求实数m的取值范围；

（2）设
，若关于x的方程
至少有一个解，求p的最小值．

（3）证明不等式：

请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲．如图，
是⊙
的直径，
是⊙
的切线，
与
的延长线交于点
，
为切点．若
，
，
的平分线
与
和⊙
分别交于点
、
，求
的值．

23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲．

在极坐标系中, O为极点, 半径为2的圆C的圆心
的极坐标为
．

求圆C的极坐标方程；

在以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立的直角坐标系中，直线
的参数方程为

（t为参数），直线
与圆C相交于A，B两点，
已知定点
,求|MA|·|MB|．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数

（Ⅰ）
若
时，解不等式
；

（Ⅱ
）若不等式
的对一切
恒成立，求实数
的取值范围

[来源:Zxxk.Com]

[来源:Z+xx+k.Com]

唐山一中调研考试数学试卷(参考答案)

三、解答题：

17． 解：（1）
=
……………3分

由题意，函数
的周期为
，且最大（或最小）值为
，而
,

所以，


………… ……………………6分

(ⅱ)第四组应有2人进入面试，则随机变量
可能的
取值为0,1,2． …………7分

且
，则随机变量
的分布列为:

0[来源:学科网]

1

2



P









 ……………………10分

……………………12分

21．解：（1）依题意得

，而函数
的定义域为

∴
在
上为减函数，在
上为增函数，则
在
上为增函数

即实数m的取值范围为
………………………………4分

（2）

则

显然，函数
在
上为减函数，在
上为增函数

则函数
的最小值为

所以，要使方程
至少有一个解，则
，即p的最小值为0 …………8分

（3）由（2）可知：
在
上恒成立

所以
，当且仅当x=0时等号成立

令
，则
代入上面不等式得：

即
， 即

所以，
，
，
，…，

将以上n个等式相加即可得到：

………………………………12分

当
时，
3，

又显然
，所以
．

综上，圆
的半径
的取值范围是
．