一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.

1. 复数z＝1＋i，
为z的共轭复数，则
(　　)．[来源:学
科网ZXXK]

A．－2i B．－i C．i D．2i

2. 已知
是两个不同的平面，
是不同的直线，下列命题不正确的是( )．

A．若
则

B．若
则

C．若
则

D．若
，则

3. 为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如图 1），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是（ ）．

A．30 B．60

C．70 D．80

4．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）.

A.14 B.24 C.28 D.48

5. 某程序框图如图 2所示，现将输出（
值依次记为：
若程序运行中输出的一个数组是
则数组中的
( )．

A．32 B．24 C．18 D．16

6. 抛物线
的焦点为F，点
为该抛物线上的动点，又点
则
的最小值是（ ）．

A．
B．
C．
D．
[来源:学科网ZXXK]

7. 设
，点
为
所表示的平面区域内任意一点，
，
为坐标原点，
为
的最小值，则
的最大值为（ ）．

A．
　　　 B．

　　 C．
　　 D．

8.
将边长为
的等边三角形
沿
轴滚动，某时刻
与坐标原点重合（如图 3），设顶点

的轨迹方程是
，关于函数
的有下列
说法：

①
的值域为
；②
是周期函数；

③
；④
.

其中正确的说法个
数为：（　　）

A．0 B．
C．
D．
[来源:Zxxk.Com]

二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分．
本大题分为必做题和选做题两部分.[来源:学科网]

（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答.

9. 已知向量
，
，若
，则实数
的值等于
．

10. 不等式
的解集为
．

11. 设
为等比数列
的前n项和，
，则
.

12. 函数
的部分图象如图 4所示，点
,

，若
，则
等于 ．

13. 如图 5，圆O：

内的正弦曲线
与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分）随机往圆O内投一个点A，则点
A落在区域M内的概率为 ．

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答只计算前一题的得分.

14.（极坐标系与参数方程
）在极坐标系中，圆
上的点到直线
的最大距离为
．

15.（几何证明选讲）如图 6，⊙O中，直径AB和弦DE互相
垂直，C 是DE延长线上一点，连结BC与圆O交于F，若
,
,
，则
________．

三．解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.（本题满分12分）

已知函数
且函数
的最小正周期为
． [来源:学科网]

(1)求
的最大值及取得最大值的
值；

(2)若
且
，求
的值．

17.（本题满分12分）

学校文娱队的每位
队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设
为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且
．

(1) 求文娱队的人数；

(2) 写出
的概率分布列并计算
．

18.（本题满分14分）

等边三角形
的边长为
,点
、
分别是边
、
上的点,且满足

(如图7甲).将△
沿
折起到△
的位置,使二面角
成直二面角,连结
、
(如图7乙).

(1)求证:
平面
；

（2)在线段
上是否存在点
,使直线
与平面
所成的角为
?若存在,求出
的长,若不存在,请说明理由.

19.（本题满分14分）

已知数列
满足
，
．

（1）求
的值；

（2）求证：数列
是等比数列；

（3）设
，数列
的前
项和为
．求证：对任意的
，
．

20.（本题满分14分）

在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C1上的任一点到点（1，0）的距离与到直线
的距离之比为
，动点Q是动圆C2：
上一点．

（1）求曲线C1的轨迹方程；

（2）若点P为曲线C1上的点，直线PQ与曲线C1和动圆C2均只有一个公共点，求P、Q两点的距离｜PQ｜的最大值．

21．（本题满分14分）

已知函数
，
.

（1）若函数
在
处取到极值,且
成等差数列，求
的值；

（2）若存在实数
，使对
任意的
，不等式
恒成立.求正整数
的最大值．

2013—2014学年度高三理科数学测试题参考答案

且
………………………………………………9分

②，……………………11分

由①、②解得
…………………………………………………………12分

17. (1)解法1：∵
，

∴
． ……………………………………………………………………2分

即
， ∴
， ∴x=2．………………………………5分

故文娱队共有5人． ……………………………………………………………………6分

解法2：因为会唱歌的有2人，故两项都会的可能1人或2人。……………………1分

若有1人两项都会，则文娱队有6人，可得
……………………2分

因为
，故
与
矛盾.…………
…………………………………………………………………………………………4分

若有2人两项都会，则文娱队有5人，此时
满足条件.…………5分

故文娱队有5人.………………………………………………………………………………6分

(2)∵
，
.………………………………………8分

∴
的概率分布列为

0

1

2



P[来源:学科网]











……………………………………10分

…………………………
………………………………12分

18. 证明:(1)因为等边△
的边长为3
,且

,所以
,
.…1分

在△
中,
,由余弦定理得
.…3分

因为
,所以
.折叠后
有

. ……………………4分

因为二面角
是直二面角,所以平面

平面
.

又平面

平面

,
平面
,
,

所以
平面
. …………………………………………………………………7分

(2)解法1:假设在线段
上存
在点
,使直线
与平面
所成的角为
.………………………………………8分

如
图 7,作
于点
,连结
、
. ……9分

由(1)有
平面
,而
平面
,

所以

.………………………………………10分

又
,所以
平面
.

所以
是直线
与平面
所成的角. ………………………………………11分

设

,则
,
.

在
△
中,
,所以
.

在
△
中,
,
.

由
,
得
.

解得
,满足
,符合题意. ………
…………………………………………13分

所以在线段
上存在点
,使直线
与平面
所成的角为
,此时
.………………………………………………………………………………………14分[来源:学§科§网Z§X§X§K]

解法2:由(1)的证明,可知
,
平面
.

以
为坐标原点,以射线
、
、
分别为
轴、
轴、
轴的正半轴,建立空间直角坐标系
如图 8………………………………………
…8分

设

,则[来源:Zxxk.Com]

,

,
.

所以
,
,
.所以
.…………9分

因为
平面
,所以平面
的一个法向量为
.

因为直线
与平面
所成的角为
,所以

,
解得
.………………………………………………12分

即
,满足
,符合题意.…………………………………………13分

所以在线段
上存在点
,使直线
与平面
所成的角为
,此时
.………………
……………………………………………………………………14分

19. 解：（1）由
和
解得
………………………………………2分

（2）
,………………4分

.又
，…
……………6分

故
是以3为首项，公比为-2的等比数列.……………………………………7分

（3）由（2）得
.………………………………8分

所以
，
，…………………………10分

.………12分

所以
.………
………………………………………14分

20. 解：（1）设
，依题意得
化简方程得
.……3分

（2）依题意可知直线PQ显然有斜率，设其方程为

设
、
，…………………………………………………………………4分

由于直线PQ与曲线C1相切，点P为切点，从而有

得
，故
…………6分

从而可得
，
…………………………………………8分

又直线PQ与圆C2相切，则
……………………9分

由（1）、（2）得
，………………………………………………………………10分[来源:Z,xx,k.Com]

并且

即
，当且仅当
时取等号，………………………………………13分

故P、Q两点的距离｜PQ｜的最大值
………………………………………………14分

21. .解：（1）
……2分

……4分

由（1）和（4）解得
，再由（2）（4）得
……7分

（2）不等式
，即
，即
。

转化为存在实数
，使对任意的
，不等式
恒成立。………………………………………………………………………………………………8分

即不等式
在
上恒成立。

即不等式
在
上恒成立。……………………………………9分

设
，则
.

设
，则
，因为
，有
。

故
在区间
上是减函数.……………………………………………………10分

又
.

故存在
，使得
.

当
时，有
，当
时，有
.

从而
在区间
上递增，在区间
上递减.……………………………11分[来源:学科网]

又

…………
………………………12分

所以当
时，恒有
；当
时，恒有
；……………………13分

故使命题成立的正整数
的最大值为5. ………………………………………………14分