吉林省实验中学

2014届高三年级第一次模拟

数学（理）试题

命题人：张晓冬 审题人： 黄海燕

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合
若
,则
为.( )

A．
B．
C．
D．

2．设是虚数单位，若复数
是纯虚数，则的值为（ ）

A．
B．
C．1 D．3

3. 设
为平面，
为直线，则
的一个充分条件是（ ）

A．
Ｂ．

Ｃ．
Ｄ．

4．运行如图所示的算法框图，则输出的结果S为（ ）

A．
B．1

C．
D．2

5．若三角形ABC中，sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，则此三角形的形状是（ ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等边三角形 D．等腰直角三角形

6.在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（ ）

A．
　　　　B．
C．
　　　　D．

7．已知函数
，则使函数
有零点的实数的取值范围是（　　）

A.
B.

C.
D.

8．若某棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，

则该棱锥的体积等于（ ）

A．10 cm3 B．20 cm3

C．30 cm3 D．40 cm3

9. 若抛物线
的焦点是F，准线是
，点M（4，4）是抛物线上一点，则经过点F、

M且与
相切的圆共有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．4个

10.
，数列
的前项和为
，数列
的通项公式为
，则
的最小值为（ ）

A．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

11．中心在原点，焦点在轴上的双曲线
的离心率为2，直线
与双曲线
交于
两

点，线段
中点
在第一象限，并且在抛物线
上，且
到抛物线焦点的距离为，则直线
的斜率为（ ）

A． Ｂ． Ｃ．
Ｄ．

12．把曲线C：
的图像向右平移
个单位，得到曲线
的图像，且曲线
的图像关于直线
对称，当
（
为正整数）时，过曲线
上任意两点的斜率恒大于零，则
的值为（ ）

A．1 Ｂ． 2 Ｃ．3 Ｄ．4

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.
的展开式的常数项为 ．

14．设x，y满足约束条件
，向量
，且a∥b，

则m的最小值为 ．

15.如图，已知球
是棱长为的正方体

的内切球，则平面
截球
的截面面积为 .

16. 设函数f(x)的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意xD，都有x+kD，且

f(x+k)>f(x) 恒成立，则称函数f(x)为D上的“k型增函数”。已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，
，若f(x)为R上的“2014型增函数”，则实数a的取值范围是______.

三、解答题：本大题共6道题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）

已知
是单调递增的等差数列，首项
，前项和为
，数列
是等比数列，其中

（1）求
的通项公式；

（2）令
求
的前20项和
。

18．(本题满分12分)

前不久，省社科院发布了2013年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城”.随后，某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：

（1）指出这组数据的众数和中位数；

（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；

（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记
表示抽到“极幸福”的人数，求
的分布列及数学期望．

19．(本题满分12分)

如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB//CD，AB=AD=
，点M在线段EC上且不与E、C重合。

（1）当点M是EC中点时，求证：BM//平面ADEF；

（2）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为
时，求三棱锥M—BDE的体积.

20．(本题满分12分)

已知椭圆C：
经过点
，离心率
，直线
的方程为
.

(1)求椭圆C的方程；

(2)AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线
与l相交于点M，记PA,PB,PM的斜率分别为
，问：是否存在常数
，使得
？若存在，求出
的值，若不存在，说明理由.

21．(本题满分12分)

已知定义在上的函数
总有导函数
,定义
.

一是自然对数的底数.

(1)若
,且
,试分别判断函数
和
的单调性:

(2)若
.

①当
时,求函数
的最小值；

②设
,是否存在
,使得
?若存在,请求出一组
的值:若不存在,请说明理由。

请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22.(本题满分10分)选修4—1几何证明选讲:

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F。

（I）求证：DE是⊙O的切线；

（II）若
的值.

23.(本题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程
为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；

（Ⅱ）直线
的极坐标方程是
，射线
与圆C的交点为O、P，与直线
的交点为Q，求线段PQ的长．

24．(本题满分10分)选修4—5:不等式选讲

已知函数
。

（1）若
的解集为
，求实数
的值。

（2）当
且
时，解关于的不等式
。

参考答案

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

D

D

A

B

D

C

B

C

B

C

A



二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）

13．15 14．
15．
16．

三．解答题（本大题共6小题，共计70分）

18. 解：（1）众数：8.6； 中位数：8.75 ；……………………………2分

（2）设
表示所取3人中有个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件，则
； …………………6分

（3）
的可能取值为0，1，2，3.

；
；

；
……..……………..10分

所以
的分布列为：

























. ………..……….…12分

另解：
的可能取值为0，1，2，3.则
，
.

所以
=
．

19．解：（1）以
分别为
轴建立空间直角坐标系

则

的一个法向量

，
。即
………………………..4分

（2）依题意设
，

设面
的法向量

则
，

令
，则
，面
的法向量

，解得
………………10分

为EC的中点，
，到面
的距离

…………………………………………………………12分

另解：用传统方法证明相应给分。

20．解：（1）由点
在椭圆上得，
①
②

由 ①②得
，故椭圆
的方程为
……………………..4分

（2）假设存在常数
，使得
.

由题意可设

③

代入椭圆方程
并整理得

设
，则有
④ ……………6分

在方程③中，令
得，
，从而

.又因为
共线，则有
，

即有

所以

=

⑤

将④代入⑤得


，又
，

所以

故存在常数
符合题意……………………………………………………………12分

21.

22．（I）证明：连结OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC …………………2分

∴OD//AE 又AE⊥DE …………………………………3分

∴OE⊥OD，又OD为半径

∴DE是的⊙O切线 ………………………5分

（II）解：过D作DH⊥AB于H，

则有∠DOH=∠CAB

…………6分

设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，

由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x ……………8分

又由△AEF∽△DOF 可得

……………………………………………………10分

.