中山市高三级2013—2014学年度第一学期期末统一考试

理科数学参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

DAAD BCBC

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．

9.
; 10.
11.
; 12.
； 13. 45； 14.

三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本题满分12分）

设平面向量
，
，函数
。

（Ⅰ）求函数
的值域和函数的单调递增区间;

（Ⅱ）当
,且
时,求
的值.

15．解： 依题意


………（2分）

………………………………………………（4分）

（Ⅰ） 函数
的值域是
；………………………………………………（5分）

令
，解得
………………（7分）

所以函数
的单调增区间为
.……………………（8分）

（Ⅱ）由
得
,

因为
所以
得
,………………………（10分）

……………………………………………………………………（12分）

16．(本题满分12分)

某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．

（I）估计这次测试数学成绩的平均分；

（II）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为
，求
的分布列及数学期望
．

16. 解：（I）利用中值估算抽样学生的平均分：

45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05 =72. ……………（3分）

众数的估计值为75分 ……………（5分）

所以，估计这次考试的平均分是72分． ……………（6分）

（注：这里的众数、平均值为估计量，若遗漏估计或大约等词语扣一分）

（II）从95， 96，97，98，99，100中抽2个数的全部可能的基本结果数是
，

有15种结果，学生的成绩在[90，100]段的人数是0.005×10×80=4（人），

这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是
，

两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率
……………（8分）

随机变量
的可能取值为0、1、2、3，则有．

∴

∴变量
的分布列为：

0

1

2

3



P











 …………（10分）

…………（12分）

解法二. 随机变量
满足独立重复试验,所以为二项分布, 即
………（10分）

…………（12分）

17．（本小题满分14分）

如图，在底面是矩形的四棱锥错误！未找到引用源。中，

错误！未找到引用源。⊥平面错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。.错误！未找到引用源。是

错误！未找到引用源。的中点，

（Ⅰ）求证：平面错误！未找到引用源。⊥平面错误！未找到引用源。；

（Ⅱ）求二面角错误！未找到引用源。的余弦值；

（Ⅲ）求直线错误！未找到引用源。与平面错误！未找到引用源。所成角的正弦值

17．解法一：（Ⅰ）错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，

错误！未找到引用源。. ---------------------------------------------------------------------------------（2分）

错误！未找到引用源。, 错误！未找到引用源。.

而错误！未找到引用源。,
平面错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。. ………………………（4分）

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。. ………………………（5分）

（Ⅱ）连结错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。，取错误！未找到引用源。中点错误！未找到引用源。， 连结错误！未找到引用源。 ， 则错误！未找到引用源。,

∵错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。， ∴错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。.

过错误！未找到引用源。作错误！未找到引用源。交错误！未找到引用源。于错误！未找到引用源。，连结错误！未找到引用源。，

则 错误！未找到引用源。就是二面角错误！未找到引用源。所成平面角. ………………………（7分）

由错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。.

在错误！未找到引用源。中，错误！未找到引用源。 解得错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。.

因为错误！未找到引用源。是错误！未找到引用源。的中点，所以错误！未找到引用源。. ………………………（8分）

而错误！未找到引用源。，由勾股定理可得错误！未找到引用源。. ………………………（9分）

错误！未找到引用源。. ………………………（10分）

（Ⅲ）延长错误！未找到引用源。，过错误！未找到引用源。作错误！未找到引用源。垂直错误！未找到引用源。于错误！未找到引用源。，连结错误！未找到引用源。，

又∵错误！未找到引用源。，∴错误！未找到引用源。⊥平面错误！未找到引用源。，

过错误！未找到引用源。作错误！未找到引用源。垂直错误！未找到引用源。于错误！未找到引用源。， 则错误！未找到引用源。,

所以错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。, 即错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。，

所以错误！未找到引用源。在平面错误！未找到引用源。内的射影是错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。是直线与平面所成的角.

………………………（12分）

错误！未找到引用源。.

错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。.

错误！未找到引用源。.……………（14分）

解法二：以错误！未找到引用源。为原点，错误！未找到引用源。所在直线为错误！未找到引用源。轴，错误！未找到引用源。所在直线为错误！未找到引用源。轴，错误！未找到引用源。所在直线为错误！未找到引用源。 轴建立空间直角坐标系，则错误！未找到引用源。(0，0，0) , 错误！未找到引用源。(2，0，0), 错误！未找到引用源。(2，4，0) , 错误！未找到引用源。(0，4，0) ，

错误！未找到引用源。(0，2，1) , 错误！未找到引用源。(0，0，2) . ……………………（2分）

∴错误！未找到引用源。＝(2，0，0) , 错误！未找到引用源。＝(0，4，0) , 错误！未找到引用源。＝(0，0，2) , 错误！未找到引用源。＝(－2，0，0) ,

错误！未找到引用源。＝(0，2，1) , 错误！未找到引用源。＝(2，4，0) . 　　 ……………………（3分）

（Ⅰ）错误！未找到引用源。, 错误！未找到引用源。.

又错误！未找到引用源。, 错误！未找到引用源。 . 　

………………………（5分）

错误！未找到引用源。,

错误！未找到引用源。,

而错误！未找到引用源。,

∴平面错误！未找到引用源。⊥平面错误！未找到引用源。.　………（7分）

（Ⅱ）设平面错误！未找到引用源。的法向量错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,令错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。.

由错误！未找到引用源。即错误！未找到引用源。

∴错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。. ………………………（9分）

平面错误！未找到引用源。的法向量错误！未找到引用源。＝(0，0，2) , 错误！未找到引用源。.

所以二面角错误！未找到引用源。所成平面角的余弦值是错误！未找到引用源。. ……………………（11分）

（Ⅲ）因为平面的法向量是错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，而错误！未找到引用源。＝(－2，0，0) .

所以 错误！未找到引用源。 . ………………………（13分）

直线错误！未找到引用源。与平面错误！未找到引用源。所成角的正弦值 错误！未找到引用源。 . ………………………（14分）

18．（本小题满分14分）

数列{
}的前n项和为
，
．

（I）设
，证明：数列
是等比数列；

（II）求数列
的前项和
；

（Ⅲ）若
，数列
的前项和
，证明：

．

18．【解析】（I）因为
，

所以 ① 当
时，
，则
， ………………………………（1分）

② 当
时，
，……………………（2分）

所以
，即
，

所以
，而
， ……………………（3分）

所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列，所以
．…………（4分）

（II）由(1)得
．

所以 ①
，

②
， ……………（5分）

②-①得：
， ……………（7分）

.……………（9分）

（III）由(I)知
……………（10分）

（1）当
时，
成立； ……………（11分）

（2）当
时，
，
，

………………（13分）

所以
. ………（14分）

（本题放缩方法不唯一,请酌情给分）

19. 已知函数
，.

（I）若
，且对于任意
恒成立，试错误！未找到引用源。确定实数
的取值范围；

（II）设函数
，求证：

19. 解:（Ⅰ）由
可知
是偶函数．

于是
对任意
成立等价于
对任意
成立．………（1分）

由
得
．

①当
时，
．

此时
在
上单调递增． 故
，符合题意．…（3分）

②当
时，
．

当变化时
的变化情况如下表： ……………………（4分）





















单调递减

极小值

单调递增



由此可得，在
上，
．

依题意，
，又
．

综合①，②得，实数
的取值范围是
． ………………（7分）

（Ⅱ）
，

又

，

……………………