成都树德中学2014届高三3月阶段性考试

数学试题(理科)

考试时间120分钟 满分150分 命题人：黄波

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1. 已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x ∈A，y∈A，x+y∈A}，则B中所含元素的个数为( )

A．8 B．9 C．10 D．11

2.设复数
，若
,则复数z的虚部为( )

(A)
(B)
(C)
(D)

3.下列四种说法中，正确的是( )

A．
的子集有3个； B．“若
”的逆命题为真；

C．“命题
为真”是“命题
为真”的必要不充分条件；

D．命题“
，
”的否定是：“
使得

4.要得到函数
的图象，只要将函数
的图象（ ）

A．向右平移
单位 B．向左平移
单位 C．向左平移
单位 D． 向右平移
单位

5． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积

是（ ）

A．
B．

C．
D．

6.在
的展开式中，含
项的系数是n，

若
，则
( )

(A)1 (B)-1 (C) 1-
(D)-1+

7. 从1，2，3……20这20个数中任取2个不同的数，则这两个数之和是3的倍数的概率为( )

A．
B．
C．
D．

8.已知A，B，C，D，E为抛物线
上不同的五点，抛物线焦点为F，满足
，则
( )

A 5 B 10 C
D

9.若函数

的图象如图所示，则
( )

A. 1: 6: 5: 8

B. 1：6：5: (-8）

C. 1：（-6）：5: 8

D. 1：（-6）：5: (-8）

10.对于函数
，若

，
为某一三角形的三边长，则称
为“可构造三角形函数”．已知函数
是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11. 执行如图所示的程序框图，输出的
=

12.正项数列
中,
,则实数p=

13.设
满足约束条件
,若
的最小值为
,则
的值为

14.
，若任取
，都存在
，

使得
，则
的取值范围为_____ ____

15.对任意两个非零的平面向量
和
,定义
,若平面向量
、
满足
,

与
的夹角
,且
和
都在集合
中.给出下列命题：

①若
时，则
, ②若
时，则
,

③若
时，则
的取值个数最多为7,

④若
时，则
的取值个数最多为
.

其中正确的命题序号是 （把所有正确命题的序号都填上）

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16. （本题满分12分）

在
分别是角A、B、C的对边
且
∥

（1）求角B的大小；

（2）设
且
的最小正周期为
求
在区间
上的最大值和最小值．

▲

17.（本小题满分12分）

前不久，省社科院发布了2013年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城市”.随后，树德中学校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“新华西路”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：

（1）指出这组数据的众数和中位数；

（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；

（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记
表示抽到“极幸福”的人数，求
的分布列及数学期望．

▲

18.（本题满分12分）

设各项均为正数的数列
的前
项和为
，满足
且
恰好是等比数列
的前三项．

（Ⅰ）求数列
、
的通项公式；

（Ⅱ）记数列
的前
项和为
,若对任意的
，
恒成立，求实数
的取值范围．

▲

19.（本题满分12分）

在四棱锥
中,侧面

底面
,
,底面
是直角梯形,
,
,
,
.

（1）求证:
平面
;

（2）设
为侧棱
上一点,
,试确定
的值,使得二面角
为
.

▲

20. （本题满分13分）

已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，椭圆C的上、下顶点分别为A1，A2，左、右顶点分别为B1，B2,左、右焦点分别为F1，F2．原点到直线A2B2的距离为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过原点且斜率为的直线l，与椭圆交于E，F点，试判断∠EF2F是锐角、直角还是钝角，并写出理由；

（3）P是椭圆上异于A1，A2的任一点,直线PA1，PA2，分别交
轴于点N，M,若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T.证明：线段OT的长为定值,并求出该定值.

▲

21. （本题满分14分）

已知函数

(1)当
时，讨论
的单调性；

(2)当
时，若
恒成立，求满足条件的正整数
的值；

(3)求证：
.

▲

2014届高三3月阶段性考试数学试题参考答案(理科)

1-5:CDCAC 6-10:CABDA

11.8194 12.1 13.1 14.
15. ①③

16. 解：（1）由
， 得

正弦定得，得

又B

又
又

（2）

由已知

当

因此，当
时，

当
，

17.解：（1）众数：8.6； 中位数：8.75 ；

（2）设
表示所取3人中有
个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件
，则
；

（3）
的可能取值为0，1，2，3.

；
；

；

所以
的分布列为：

























.

另解：
的可能取值为0，1，2，3.则
，
.

所以
=
．

18.（Ⅰ）当
时，
，

,

当
时，
是公差
的等差数列.
构成等比数列，
，
，解得
, 由条件可知，

是首项
,公差
的等差数列.

数列
的通项公式为
.数列
的通项公式为

(Ⅱ)
，

对
恒成立，
对
恒成立，

令
，
，当
时，
，当
时，

，
．

19.解：(Ⅰ)平面

底面
,
,所以
平面
,

所以
, 以
为原点建立空间直角坐标系
.

则

,
, 所以
,
,

又由
平面
,可得
,所以
平面

(Ⅱ)平面
的法向量为
,

,
,
所以
,

设平面
的法向量为
,
,
,

由
,
,得 所以,
, 所以
,

所以
, 注意到
,得

20.解：（1）因为椭圆C的离心率e＝，故设a＝2m，c＝m，则b＝m．

直线A2B2方程为 bx－ay－ab＝0，即mx－2my－2m2＝0．所以 ＝，

解得m＝1．所以 a＝2，b＝1，椭圆方程为＋y2＝1．

由得E(，)，F(－，－)．

又F2(，0)，所以＝(－，)，＝(－－，－)，

所以·＝(－)×(－－)＋×(－)＝＞0．

所以∠EF2F是锐角．

（3）由（1）可知A1(0，1) A2(0，－1),设P(x0，y0),

直线PA1：y－1＝x，令y＝0,得xN＝－；

直线PA2：y＋1＝x，令y＝0,得xM＝；

解法一:设圆G的圆心为((－)，h),

则r2＝[(－)－]2＋h2＝(＋)2＋h2．

OG2＝(－)2＋h2．

OT2＝OG2－r2＝(－)2＋h2－(＋)2－h2＝．

而＋y02＝1，所以x02＝4(1－y02)，所以OT2＝4，

所以OT＝2,即线段OT的长度为定值2.

解法二:OM·ON＝|(－)·|＝,

而＋y02＝1，所以x02＝4(1－y02)，所以OM·ON＝4．

由切割线定理得OT2＝OM·ON＝4．

所以OT＝2,即线段OT的长度为定值2.

21.解：(Ⅰ)
，

令
，

时
为常函数，不具有单调性。

时
，
在
上单调递增；

(Ⅱ)
时
，

，
，

设
，则
。

因为此时
在
上单调递增可知当
时，
；当
时，
，

所以当
时，
；当
时，
，

当
时，
，

，
，即
，

所以
，
，
，

，故正整数
的值为1、2或3。

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，当
时，
恒成立，即
，

，
，令
，

得

则
（
暂时不放缩）

， ．．．．．．．．．．，
.以上
个式子相加得：

所以
，

即
。