成都树德中学2014届高三3月阶段性考试

数学试题（文科）

考试时间120分钟 满分150分 命题人：尹小可

一、选择题 (本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)

1．在复平面内，复数
（
是虚数单位）所对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．设集合
,
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 已知
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 在直角三角形
中，
，
，点
是斜边
上的一个三等分点，则
（ ）

A．0 B．
C．
D．4

5．设
是等差数列
的前
项和，若
，则
＝（ ）

A．1 B．－1 C．2 D．

6．已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 若方程
在
上有解，则实数
的取值范围是( )

A．
　　 　B．
C．
　 D．
∪

8．若抛物线
的焦点与双曲线
的右焦点重合,则
的值为( )

A．
B．
C．
D．

9. 已知函数
(
),则（ ）

A.
必是偶函数 B.当
时,
的图象必须关于
直线对称;

C.
有最大值
D. 若
,则
在区间
上是增函数;

10.
是
边
延长线上一点，记
. 若关于
的方程

在
上恰有两解，则实数
的取值范围是 （ ）

A.
B.
或

C.
D.
或

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，

把答案填写在答题卡中的横线上.）

11. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出
的值为 ．

12．
辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如下

图所示，时速在
的汽车大约有______辆．

13. 如图，三棱锥S-ABC中，SA=AB=AC=2，

，M、N分别为SB、SC上的点，

则△AMN周长最小值为 .

14. 已知实数x,y满足
，则
的取值范围是______.

15.设函数
的定义域为
，若存在常数
，使
对一切

实数
均成立，则称为“有界泛函”．现在给出如下
个函数：

①
； ②
； ③
； ④
；

⑤
是
上的奇函数，且满足对一切
，均有
．

其中属于“有界泛函”的函数是 （填上所有正确的序号）

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16.（本小题满分12分）

已知数列
为等差数列，且
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）证明
…
.

▲

17.（本小题满分12分）

如图所示，扇形AOB,圆心角AOB的大小等于
，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P.

（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的长；

（2）设
,求
面积的最大值及此时
的值.

▲

18.（本小题满分12分）

城市公交车的数量若太多则容易造成资源的浪费；若太少又难以满足乘客需求.某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：分钟）：

组别

候车时间

人数



一



2



二



6



三



4



四



2



五



1



（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；

（2）若从上表第三、四组的6人中任选2人作进一步的调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．

▲

19．（本题满分12分）

如图，已知平面四边形
中，
为
的中点，
，
，

且
．将此平面四边形
沿
折成直二面角
，

连接
，设
中点为
．

（I）证明：平面
平面
；

（II）在线段
上是否存在一点
，使得
平面
？若存在，请确定点
的位置；若不存在，请说明理由．

（III）求直线
与平面
所成角的正弦值．

▲

20．（本小题满分13分）椭圆
的两焦点坐标分别为
和
，且椭圆经过点
．

（I）求椭圆
的方程；

（II）过点
作直线
交椭圆
于
两点（直线
不与
轴重合），
为椭圆的左顶点，试证明：
．

▲

21．（本小题满分14分）

已知函数
的图像过坐标原点
，且在点
处的切线斜率为
.

(1) 求实数
的值；

(2) 求函数
在区间
上的最小值；

(3) 若函数
的图像上存在两点
，使得对于任意给定的正实数
都满足
是以
为直角顶点的直角三角形，且三角形斜边中点在
轴上，求点
的横坐标的取值范围.

▲

2014届高三3月阶段性考试数学试题参考答案（文）

一、1—5 B C D D A 6—10 B A C D D

二、11. 7 12. 60 13.
14.
15. ②③④⑤

前四个结合定义及函数解析式或图象特征易判断之；对于⑤，令
，则
，

已知式化为了
，显然也符合定义

三、解答题

16.解析：（1）设等差数列的公差为d，由
得

即d=1； …………3分

所以
即
． …………6分

（2）证明：
　　　　　　　………8分

…
…
…12分

17.解析:(1)在
中，
,
,由

··············5分

（2）
平行于

在
中，由正弦定理得
，即

，

又
,
. ··············8分

记
的面积为
，则

=
， ·············10分

当
时，
取得最大值
. ··············12分

18.解:（1）候车时间少于10分钟的概率为
， ………………4分

所以候车时间少于10分钟的人数为
人． ………………………6分

（2）将第三组乘客编号为
，第四组乘客编号为
．从6人中任选两人有包 含以下基本事件：
，
，
，
，
， 共15个基本事件 ………………10分

其中两人恰好来自不同组包含8个基本事件,所以,所求概率为
． …………12分

19．解：（I）直二面角
的平面角为
，又
，

则
平面
，所以
．

又在平面四边形
中，由已知数据易得
，而
，

故
平面
，因为
平面
，所以平面
平面
……（4分）

（II）解法一：由（I）的分析易知，
，则以
为原点建立空间直角坐标系如图所示．结合已知数据可得
，
，
，
，

则
中点
，

平面
，故可设
，

则

平面
，

又
，

由此解得
，即

易知这样的点
存在，且为线段
上靠近点
的一个四等分点…………..（8分）

解法二：（略解）如右图所示，

在
中作
，交
于
，

因为平面
平面
，则有
平面
．

在
中，结合已知数据，利用三角形相似

等知识可以求得
，

故知所求点
存在，且为线段
上靠近点
的一个

四等分点．……..（8分）

（III）解法一：由（II）
是平面
的一个法向量，又
，

则得
，所以
，

记直线
与平面
所成角为
，则知