中山市高三级2013—2014学年度第一学期期末统一考试

数学试卷（文科）答案

本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

DAACD CBBCB

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．

11.
; 12．
; 13.
; 14.

三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本题满分12分）

设平面向量
，
，函数
。

（Ⅰ）求函数
的值域和函数的单调递增区间;

（Ⅱ）当
,且
时,求
的值.

15．解： 依题意


………（2分）

………………………………………………（4分）

（Ⅰ） 函数
的值域是
；………………………………………………（5分）

令
，解得
………………（7分）

所以函数
的单调增区间为
.……………………（8分）

（Ⅱ）由
得
,

因为
所以
得
,………………………（10分）

……………………………………………………………………（12分）

16．（本题满分12分）

某学校餐厅新推出A，B，C，D四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下. 为了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：

满意

一般

不满意



A套餐

50%

25%

25%



B套餐

80%

0

20%



C套餐

50%

50%

0



D套餐

40%

20%

40%



（Ⅰ）若同学甲选择的是A款套餐，求甲的调查问卷被选中的概率；

（Ⅱ）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面 谈，求这两人中至少有一人选择的是D款套餐的概率.

解：（Ⅰ）由条形图可得，选择A，B，C，D四款套餐的学生共有200人，

其中选A款套餐的学生为40人，

由分层抽样可得从A款套餐问卷中抽取了
份. …………….（2分）

设事件
=“同学甲被选中进行问卷调查”，

则
. ……………………………………………………….（5分）

答：若甲选择的是A款套餐，甲被选中调查的概率是
. …………….（6分）

（II）由图表可知，选A，B，C，D四款套餐的学生分别接受调查的人数为4，5，6，5.

其中不满意的人数分别为1，1，0，2个 . ………………………….（7分）

记对A款套餐不满意的学生是a；对B款套餐不满意的学生是b；

对D款套餐不满意的学生是c，d. ………………………………………………….（8分）

设事件N=“从填写不满意的学生中选出2人，至少有一人选择的是D款套餐”

从填写不满意的学生中选出2人，共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)6个基本事件，

而事件N有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)5个基本事件， ………………………（10分）

则
. ………………………………………………………（12分）

17．（本题满分14分）

如图所示，圆柱的高为2，底面半径为
,AE、DF是圆柱的两条母线，过
作圆柱的截面交下底面于
, 四边形ABCD是正方形.

（Ⅰ）求证
；

（Ⅱ）求四棱锥E-ABCD的体积.

（Ⅰ）AE是圆柱的母线，

下底面，又
下底面，
…………………………….3分

又截面ABCD是正方形，所以
⊥
，又

⊥面
，又
面
，
……………………………（7分）

（Ⅱ）因为母线
垂直于底面，所以
是三棱锥
的高………………（8分），

由（Ⅰ）知
⊥面
，
面
，面
⊥面
，

又面
面

，
面
，

面
，即EO就是四棱锥
的高…………………（10分）

设正方形
的边长为, 则
，

又
，

为直径，即

在
中，
, 即

， ……………………………………………………………（12分）

18.（本小题满分14分）

数列{
}的前n项和为
，
．

（I）设
，证明：数列
是等比数列；

（II）求数列
的前项和
；

（Ⅲ）若
，
．求不超过的最大整数的值。

18．【解析】(1) 因为
，

所以 ① 当
时，
，则
， ………………………………（2分）

② 当
时，
，…………………（4分）

所以
，即
，

所以
，而
， ……………………（6分）

所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列，所以
．………（7分）

（2）由(1)得
．

所以 ①
，

②
， ……………（9分）

②-①得：
， ……………（12分）

. ………………（14分）

19．（本小题满分14分）

已知函数
，.

（I）若
，且对于任意
恒成立，试确定实数
的取值范围；

（II）设函数
，

求证：

19. 解:（Ⅰ）由
可知
是偶函数．

于是
对任意
成立等价于
对任意
成立．………（1分）

由
得
．

①当
时，
．

此时
在
上单调递增． 故
，符合题意．（3分）

②当
时，
．

当变化时
的变化情况如下表： ………………………（4分）





















单调递减

极小值

单调递增



由此可得，在
上，
．

依题意，
，又
．

综合①，②得，实数
的取值范围是
． ……………………（7分）

（Ⅱ）
，

又

，

…………………………………………………………………（10分）

，

……………………………………………（12分）

由此得:

故
成立. …………………（14分）

20．已知函数
，
，
，其中
，且
.

⑴当
时，求函数
的最大值； ⑵求函数
的单调区间；

⑶设函数
若对任意给定的非零实数，存在非零实数（
），使得
成立，求实数
的取值范围.

解：⑴当
时，
∴

令
，则
， ∴
在
上单调递增，在
上单调递减

∴
………………………（4分）

⑵
，
，（
）

∴当
时，
，∴函数
的增区间为
，

当
时，
，

当
时，
，函数
是减函数；当
时，
，函数
是增函数。

综上得，当
时，
的增区间为
；

当
时，
的增区间为
，减区间为
………（10分）

⑶当
，
在
上是减函数，此时
的取值集合
；

当
时，
，

若
时，
在
上是增函数，此时
的取值集合
；

若
时，
在
上是减函数，此时
的取值集合
。

对任意给定的非零实数，

①当
时，∵
在
上是减函数，则在
上不存在实数（
），使得
，则
，要在
上存在非零实数（
），使得
成立，必定有
，∴
；

②当
时，
在
时是单调函数，则
，要在
上存在非零实数（
），使得
成立，必定有
，∴
。

综上得，实数
的取值范围为
。 ……………（14分）