龙岩市2013一2014学年第一学期高三教学质量检查

数学试题（理科）

考生注意：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第B卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．

2.请将各题答案填在试卷后面的答题卡上．

3.本试卷主要考试内容：除“统计与统计案例，计数原理、概率，算法初步，数系的扩充与复

数的引入”外的高考内容．

第工卷（选择题共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的．

1.已知集合A={x｜x2＋x－2<0｝，集合B= {x｜(x＋2) (3－x)＞0｝，则
等于

A. {x｜1≤x<3｝　　　 B. {x｜2≤x<3｝

C. {x｜－2

2.已知命题p：
≤0，则

A. p是假命题； p：
≤0

B. p是假命题； p：
＞0

C. p是真命题； p：
≤0

D. p是真命题； p：
＞0

3、设f (x) ＝
，则f（6）的值

A. 8 　　　　　B. 7 　　　　　C. 6 　　　　　　D. 5

4.设等比数列｛
｝, Sn是数列｛
｝的前n项和，S3=14,且 al＋8, 3a2 , a3＋6依次成等差数列，

则al·a3等于

A. 4 　　　　　B. 9 　　　　　C. 16 　　　　　　D. 25

5．已知椭圆C：
的左焦点为F，右顶点为A，其长轴长是焦距的4倍，且抛

物线y2＝6x的焦点平分线段AF，则椭圆C的方程为

6一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东300处，之后它继续沿正北方向匀速航

行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东750，且与它相距8
海里，则此

船的航速是

A. 24海里／小时　　　　B. 30海里／小时

C. 32海里／小时　　　　D. 40海里／小时

7一个侧棱与底面垂直的棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视

图如图所示，则截去那一部分的体积为．

A、1　　　　　　　　　　B、

C、11　　　　　　　　　 D、12

8.将函数f（x）＝
的图象向左平移m个单位（m＞一
），若所得的图象关于

直线x＝
对称，则m的最小值为

　 A.一
　　　　　　B.一
　　　　C. 0 　　　　　　D.

9.设F是双曲线
的右焦点，双曲线两渐近线分另。为l1，l2过F作直线l1的垂线，分

别交l1，l2于A，B两点．若OA, AB, OB成等差数列，且向量
同向，则双曲线的离心

率e的大小为

　A.
　　　　　　　 B.
　　　　　C. 2 　　　　　　D.

10.设函数f（x）的定义域为D,若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M?D）有x+l∈D，且

f（x＋l）≥f(x)，则称f(x)为M上的l高调函数，如果定义域为R的函数f(x)是奇函数，

当x≥0时，f（x）＝｜x－a2｜－a2，且f(x)为R上的8高调函数，那么实数a的取值范围是

A.［一
，
］　 B.（－2，2） C.［－1，
］ 　D.（一
，1]

第II卷（非选择题共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

11.已知向量｜a｜＝l，｜b｜＝
，且b·(2a+b) =1,则向量a,b的夹角的余弦值为＿＿＿＿．

12.设变量x，y满足约束条件
则目标函数z＝2y－3x的最大值为＿＿＿．

13.若m＞l，则函数f（m）＝
dx的最小值为＿＿＿·

14.设函数f（x）＝
，观察：，

根据以上事实，由归纳推理可得：当
＿＿＿．

15.定义在R上的函数f (x)，满足f (m+n2) = f (m)＋2[ f (n) ]2，m, n R,且f (1):≠0,则

f（2014）的值为＿＿＿＿

三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16.（本小题满分13分）

已知△ABC中的内角A,B,C对边分别为a,b,c，
sin 2C+2cos2C+1=3，c=
.

（1）若cos A＝
，求a；

（2）若2sin A=sin B，求△ABC的面积．

17.（本小题满分13分）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC, AB⊥BC,AB=AD=1

BC＝2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，点E在棱PD上，且DE=2PE.

(1）求证：BE⊥平面PCD；

(2)求二面角A一PD－B的大小．

18.（本小题满分13分）

为了保障幼儿园儿童的人身安全，国家计划在甲、乙两省试行政府规范购置校车方案，计划

若干时间内（以月为单位）在两省共新购1000辆校车．其中甲省采取的新购方案是：本月新

购校车10辆，以后每月的新购量比上一月增加50％；乙省采取的新购方案是：本月新购校

车40辆，计划以后每月比上一月多新购m辆．

（1)求经过n个月，两省新购校车的总数S(n)；

(2）若两省计划在3个月内完成新购目标，求m的最小值．

19.（本小题满分13分）

如图，正方形CDEF内接于椭圆
，且它的四条边与坐标轴平行，正方形

GHPQ的顶点G,H在椭圆上，顶点P，Q在正方形的边EF上．且CD=2PQ=
．

(1)求椭圆的方程；

(2)已知点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m (m:≠ 0)，l交椭圆于A,B两

个不同点，求证：直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

20.（本小题满分14分）

已知函数f (x) =x2， g(x) ＝2eln x(x>0) (e为自然对数的底数）．

（1)求F(x) =f(x)－g(x) (x>0)的单调区间及最小值；

（2)是否存在一次函数y=kx+b(k，bR)，使得f (x) ≥kx十b 且g (x)≤kx＋b对一切x >0

恒成立？若存在，求出该一次函数的表达式；若不存在，请说明理由．

21.本题设有（1）、《2）、(3)三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做， 则按所做的前两题计分．

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

二阶矩阵M对应的变换将点(1，一1)与（－2，1)分别变换成点（－1，一1）与(0，一 2）．

①求矩阵M;

②设直线l在变换M的作用下得到了直线m：x－y=4，求l的方程．

(2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为
(t为参数），P为C1上的动

点，Q为线段OP的中点．

（1)求点Q的轨迹C2的方程；

(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴（两坐标系取相同的长度单位）的极坐标系中,N

为曲线p=2sinθ上的动点,M为C2与x轴的交点，求｜MN｜的最大值．

（3)（本小题满分7分）选修4一5：不等式选讲

设函数f(x)＝｜x＋a｜－｜x－4｜，xR

（1)当a=1时，解不等式f（x）＜2；

(2)若关于x的不等式f (x)≤5－｜a＋l｜恒成立，求实数a的取值范围．

龙岩市2013~2014学年第一学期高三教学质量检查数学试题

参考答案(理科)

1．A　∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|－2＜x＜3}，∴(RA)∩B＝{x|1≤x＜3}．

2．B　∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题；綈p：?x∈R，log2(3x＋1)>0.

3．B　 f(6)＝f[f(6＋5)]＝f[f(11)]＝f(11－3)＝f(8)＝f[f(8＋5)]＝f[f(13)] ＝f[f(13－3)]＝f(10)＝10－3＝7.

4．C　∵S3＝a1＋a2＋a3＝14，a1＋8＋a3＋6＝6a2，

∴7a2＝28，即a2＝4，

∴a1·a3＝a＝16.

5．C　F(－c，0)，则a＝4c，又抛物线y2＝6x的焦点平分线段AF，∴2(c＋)＝a＋c，解得a＝4，c＝1，则椭圆C的方程为＋＝1.

6．C　经计算∠A=30°，∠S=45°，AB=
BS=16海里，速度为32海里/小时.

7．A　由三视图可知，该几何体为一个长方体截去一个三棱锥，三棱锥的体积为V＝××1×2×3＝1.故选A.

8．A　将f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin(2x－)的图象向左平移m个单位，得函数g(x)＝2sin(2x＋2m－)的图象，则由题意得2×＋2m－＝kπ＋(k∈Z)，即有m＝＋(k∈Z)，∵m>－，∴当k＝－1时，mmin＝－.

9．D　由条件知，OA⊥AB，所以，则OA∶AB∶OB＝3∶4∶5，于是tan∠AOB＝.因为向量与同向，故过F作直线l1的垂线与双曲线相交于同一支．而双曲线－＝1的渐近线方程分别为±＝0，故＝，解得a＝2b，故双曲线的离心率e＝＝.

10．A　当a＝0时，f(x)＝x，则f(x＋8)>f(x)，即f(x)为R上的8高调函数；当a≠0时，函数y＝f(x)的图象如图所示，若f(x)为R上的8高调函数，则3a2－(－a2)≤8，解得－≤a≤且a≠0.综上－≤a≤.

11.
∵
∴
则

12．4　满足约束条件的可行域如图所示．

因为函数z＝2y－3x，所以zA＝－3，zB＝2，zC＝4，

即目标函数z＝2y－3x的最大值为4.

13．－1　f(m)＝
dx＝(x＋
)＝m＋
－5≥4－5＝－1，当且仅当m＝2时等号成立．

14.
　观察知：四个等式等号右边的分母为x＋2，3x＋4，7x＋8，15x＋16，即(2－1)x＋2，(4－1)x＋4，(8－1)x＋8，(16－1)x＋16，所以归纳出分母为fn(x)＝f(fn－1(x))的分母为(2n－1)x＋2n，故当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝
.

15. 1007　令m＝n＝0得f(0＋02)＝f(0)＋2[f(0)]2，所以f(0)＝0；令m＝0，n＝1得f(0＋12)＝f(0)＋2[f(1)]2.由于f(1)≠0，所以f(1)＝；令m＝x，n＝1得f(x＋12)＝f(x)＋2[f(1)]2，所以f(x＋1)＝f(x)＋2×()2，f(x＋1)＝f(x)＋，这说明数列{f(x)}(x∈Z)是首项为，公差为的等差数列，所以f(2014)＝＋(2014－1)×＝1007.

16．解：∵sin 2C＋2cos2C＋1＝3，∴2sin(2C＋)＋2＝3.

即sin(2C＋)＝，又∵0＜C＜π，∴＜2C＋＜π，即有2C＋＝，解得C＝.5分

(1)∵cos A＝，∴sin A＝.由正弦定理得＝，解得a＝.（8分）

(2)∵2sin A＝sin B，∴2a＝b，　①

∵c2＝a2＋b2－2abcos，∴a2＋b2－ab＝3.　②

由①②解得a＝1，b＝2，∴S△ABC＝×1×2×＝.（13分）

17．解:如图，以B为原点，分别以BC、BA、BP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则B(0，0，0)，C(2，0，0)，A(0，1，0)，D(1，1，0)，P(0，0，1)，又DE＝2PE，

∴E(，，).(2分)

(1)∵＝(，，)，＝(1，1，－1)，＝(2，0，－1)，

∴·＝×1＋×1＋×(－1)＝0，

·＝×2＋×0＋×(－1)＝0.

∴BE⊥PD，BE⊥PC，又PD∩PC＝P，

∴BE⊥平面PCD.(8分)

(2)设平面PAD的一个法向量为n0＝(x，y，z)，

则由得

令z＝1，则n0＝(0，1，1)．

又＝(0，0，1)，设平面PBD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，

则由得

令x1＝1，则n1＝(1，－1，0)，

∴cos〈n0，n1〉＝＝＝－，

∴〈n0，n1〉＝120°.

又二面角A—PD—B为锐二面角，故二面角A—PD—B的大小为60°.(13分)

18．解：(1)设an，bn分别为甲省，乙省在第n月新购校车的数量．依题意，{an}是首项为10，公比为1＋50%＝的等比数列；{bn}是首项为40，公差为m的等差数列．{an}的前n项和An＝，{bn}的前n项和Bn＝＝40n＋.所以经过n个月，两省新购校车的总数为S(n)＝An＋Bn＝＋40n＋＝20[()n－1]＋40n＋＝20·()n＋n2＋(40－)n－20. (8分)

(2)若计划在3个月内完成新购目标，则S(3)≥1000，所以S(3)＝20()3＋×32＋(40－)×3－20≥1000，解得m≥277.5.

又m∈N*，所以m的最小值为278.（13分）

19．解：(1)∵CD＝，∴点E(，)，

又∵PQ＝，∴点G(，)，

则解得

∴椭圆方程＋＝1.（4分）

(2)设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1＋k2＝0即可，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则k1＝，k2＝，直线l方程为y＝x＋m，代入椭圆方程＋＝1消去y，

得x2＋2mx＋2m2－4＝0可得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.（9分）

而k1＋k2＝＋＝

＝

＝

＝

＝＝0，（12分）

∴k1＋k2＝0，故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.（13分）

20．解：(1)F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝2(x－)＝(x＞0)，

令F′(x)＝0，得x＝(x＝－舍)，

∴当0＜x＜时，F′(x)＜0，F(x)在(0，)上单调递减；

当x＞时，F′(x)＞0，F(x)在(，＋∞)上单调递增．

∴当x＝时，F(x)有极小值，也是最小值，

即F(x)min＝F()＝e－2eln＝0.

∴F(x)的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，)，最小值为0.（7分）

(2)由(1)知，f(x)与g(x)的图象有且仅有一个公共点(，e)，

∴猜想：一次函数的图象就是f(x)与g(x)的图象在点(，e)处的公切线，

其方程为y＝2x－e.

下面证明：当x＞0时，f(x)≥2x－e，且g(x)≤2x－e恒成立．

∵f(x)－(2x－e)＝(x－)2≥0，∴f(x)≥2x－e对x＞0恒成立．

又令G(x)＝2x－e－g(x)＝2x－e－2eln x，∴G′(x)＝2－＝，

∴当0＜x＜时，G′(x)＜0，G(x)在(0，)上单调递减；

当x＞时，G′(x)＞0，G(x)在(，＋∞)上单调递增．

∴当x＝时，G(x)有极小值，也是最小值，

即G(x)min＝G()＝2e－e－2eln ＝0，∴G(x)≥0，即g(x)≤2x－e恒成立．

故存在一次函数y＝2x－e，使得当x＞0时，f(x)≥2x－e，且g(x)≤2x－e恒成立.（14分）

21．(1)解：①设M＝，则有＝，＝，

所以解得

所以M＝.（3分）

②任取直线l上一点P(x，y)经矩阵M变换后为点P′(x′，y′)．

因为＝＝，

所以又m：x′－y′＝4，

所以直线l的方程为(x＋2y)－(3x＋4y)＝4，即x＋y＋2＝0.（7分）

(2)解：①设Q(x，y)，则点P(2x，2y)，又P为C1上的动点，