龙岩市2013一2014学年第一学期高三教学质量检查

数学试题（文科）

考生注意：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第B卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．

2.请将各题答案填在试卷后面的答题卡上．

3.本试卷主要考试内容：除“统计与统计案例，计数原理、概率，算法初步，数系的扩充与复

数的引入”外的高考内容．

第工卷（选择题共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的．

1、复数
的虚部为

　　A、i　　　　　　　　　B、－i　　　　　　C、1　　　　　　D、－1

2、已知集合A={x｜x2＋x－2<0｝，集合B= {x｜(x＋2) (3－x)＞0｝，则
等于

A. {x｜1≤x<3｝　　　 B. {x｜2≤x<3｝

C. {x｜－2

3、已知命题p：
≤0，则

A. p是假命题； p：
≤0

B. p是假命题； p：
＞0

C. p是真命题； p：
≤0

D. p是真命题； p：
＞0

4、设f (x) ＝
，则f（6）的值

A. 8 　　　　　B. 7 　　　　　C. 6 　　　　　　D. 5

5、已知直线2x－y＋6＝0过双曲线C：
的一个焦点，则双曲线的离心率为

　　A、
　　　　B、2　　　　　C、3　　　　　　D、4

6、设变量x，y满足约束条件
则目标函数z＝2y－3x的最大值为

A. －3　　　　　B. 2 　　　　　C. 4 　　　　　　D. 5

7、已知变量x，y之间具有线性相关关系，其回归方程为
＝－3＋bx，若
则b的值为

A. 2　　　　　　B. 1 　　　　　C. －2 　　　　　D.－1

8、执行如图所示的程序框图，若输入m的值为8，则输出s的值为

A. 4　　　　　　B. 6 　　　　　C. 8 　　　　　　D. 16

9、将函数f（x）＝
的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得的图象关于直线x＝
对称，则m的最小值为

A.
　　　　　B.
　　　　C.
　　　　　 D.

10、在区间［－2,3］上任取一个数a，则函数f（x）＝x2－2ax＋a＋2有零点的概率为

A.
　　　　　B.
　　　　　C.
　　　　　　 D.

11、在平面直角坐标系中，菱形OABC的两个顶点为O(0,0)，A(l,1)，且
＝1，则
等于

A. －1　　　　　B. 1　　　　　C.
　　　　　　　D.

12、已知函数f (x)＝
－cosx，若
，则

A. f（a）＞f（b） B. f (a) 0

第II卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中的横线上．

13.在△ABC中，sin A＝
，C= 300，BC= 3，则AB等于＿＿＿＿

14.如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，则该几何体的体积是＿＿＿＿

15.已知直线2x＋y－4＝0过椭圆E：
的右焦点F2 ，且与椭圆E在第一象限的交点为M，与y轴交于点N，F1是椭圆E的左焦点，且｜MN｜＝｜MF1｜，则椭圆E的方程为＿＿＿＿＿

16.设集合M＝｛f（x）｜存在实数t使得函数f (x)满足f(t+1) = f (t)＋f(1)｝，则下列函数(a,b,k都是常数）：

其中属于集合M的函数是＿＿＿＿＿（填序号）．

三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17.（本小题满分12分）

已知等差数列｛
｝的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3 =9 ，a1，a3，a7成等比数列．

（1)求数列｛
｝的通项公式；

（2)设
＝
，求数列｛
｝的前n项和Tn，

18.（本小题满分12分）

某食品厂对生产的某种食品按行业标准分成五个不同等级，等级系数X依次为A，B，C，D,

E.现从该种食品中随机抽取20件样品进行检验，对其等级系数进行统计分析，得到频率分

布表如下：

(1)在所抽取的20件样品中，等级系数为D的恰有3件，等级系数为E的恰有2件，求a ,b,

c的值；

(2)在（1)的条件下，将等级系数为D的3件样品记为x1 ，x2 ，x3，等级系数为E的2件样品

记为y1 ，y2，现从x1，x2 ，x3，y1，y2这5件样品中一次性任取两件（假定每件样品被取出

的可能性相同），试写出所有可能的结果，并求取出的两件样品是同一等级的概率．

19.（本小题满分12分）

如图，在三棱柱ABC—A1B1 C1中，AA1⊥面ABC, AC⊥BC, E分别在线段B1C1上，B1E=

3EC1，AC＝BC＝CC1＝4.

（1）求证：BC⊥AC1；

(2)试探究：在AC上是否存在点F，满足EF／／平面A1ABB1，若存在，请指出点F的位置，

并给出证明；若不存在，说明理由．

20.（本小题满分12分）

如图所示，在直径为BC的半圆中,A是弧BC上一点，正方形PQRS内接于△ABC，若BC = a ,

∠ABC= θ，设△ABC的面积为Sl，正方形PQRS的面积为S2.

（1）用a，θ表示S1和S2；

（2)当a固定，θ变化时，求
取得最小值时θ的值．

21、（本小题满分12分）

如图，斜率为l的直线过抛物线y2＝2 px(p>0)的焦点，与抛物线交于两点A, .B，M为抛物

线弧AB上的动点．

（1）若｜AB｜＝8，求抛物线的方程；

（2）求
的最大值

22．（本小题满分14分）

已知函数f（x）＝lnx－a2x2＋ax（aR）.

（l）当a＝1时，证明：函数f（x）只有一个零点；

（2）若函数f(x)在区间（1，十）上是减函数，求实数a的取值范围．

龙岩市2013~2014学年第一学期高三教学质量检查

数学试题参考答案(文科)

1．D ∵原式＝＝1－i，∴其虚部为－1.

2．A ∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|－2＜x＜3}，∴(RA)∩B＝{x|1≤x＜3}．

3．B ∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题；綈p：?x∈R，log2(3x＋1)>0.

4．B f(6)＝f[f(6＋5)]＝f[f(11)]＝f(11－3)＝f(8)＝f[f(8＋5)]＝f[f(13)] ＝f[f(13－3)]＝f(10)＝10－3＝7.

5．C 由题意得双曲线的一个焦点为(－3，0)，则m＝32－8＝1，则C的离心率等于3.

6．C 满足约束条件的可行域如图所示．

因为函数z＝2y－3x，所以zA＝－3，zB＝2，zC＝4，

即目标函数z＝2y－3x的最大值为4，故选C.

7．A 依题意知，＝＝1.7，＝＝0.4，而直线＝－3＋x一定经过点(，)，所以－3＋×1.7＝0.4，解得＝2.

8．C 运行一下程序框图，第一步：s＝2，i＝4，k＝2；第二步：s＝×2×4＝4，i＝6，k＝3；第三步：s＝×4×6＝8，i＝8，k＝4，此时输出s，即输出8.

9．B 将f(x)＝2sin(2x－)的图象向左平移m个单位，得函数g(x)＝2sin(2x＋2m－)的图象，则由题意得2×＋2m－＝kπ＋(k∈Z)，即有m＝＋(k∈Z)，∵m＞0，∴当k＝0时，mmin＝.

10.D 若f(x)＝x2－2ax＋a＋2＝(x－a)2－a2＋a＋2没有零点，则－a2＋a＋2＞0，解得－1＜a＜2，则函数y＝f(x)有零点的概率P＝1－＝.

11．B 依题意，||＝||＝||＝，·＝×cos∠AOC＝1，cos∠AOC＝，∠AOC＝，则||＝||＝||＝，∠BAC＝，·＝×cos∠BAC＝1.

12．B f′(x)＝sin x－，当x∈(，)时，sin x∈(，1]，∈(，)，则当x∈(，)时，f′(x)＝sin x－＞0，即函数y＝f(x)在(，)单调递增，即f(a)＜f(b)．

13．2 ＝?AB＝2.

14．12 由三视图可知，该几何体是有两个相同的直三棱柱构成，三棱柱的高为4，三棱柱的底面三角形为直角三角形，两直角边分别为2，，所以三角形的底面积为×2×＝，所以三棱柱的体积为×4＝6，所以该几何体的体积为2×6＝12.

15.＋y2＝1 直线2x＋y－4＝0与x轴、y轴的交点分别为(2，0)、(0，4)，则c＝2，|F2N|＝2，

∵|MN|＝|MF1|，∴|MF2|＋|MF1|＝|F2N|＝2a，即a＝，∴椭圆E的方程为＋y2＝1.

16．②④ 对于①，由k(t＋1)＋b＝kt＋b＋k＋b得b＝0，矛盾；

对于②，由at＋1＝at＋a知，可取t＝loga符合题意；

对于③，由＝＋k知，无实根；

对于④，由sin(t＋1)＝sin t＋sin 1知，取t＝2kπ，k∈Z符合题意；

综上所述，属于集合M的函数是②④.

17．解：(1)a＝a1a7，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，化简得d＝a1，d＝0(舍去)．

∴S3＝3a1＋×a1＝a1＝9，得a1＝2，d＝1.

∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)＝n＋1，即an＝n＋1.（6分）

(2)∵bn＝2an＝2n＋1，∴b1＝4，＝2.

∴{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列，

∴Tn＝＝＝2n＋2－4.（12分）

18．解：(1)由频率分布表得a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1，即a＋b＋c＝0.35.

因为抽取的20件样品中，等级系数为D的恰有3件，所以b＝＝0.15.

等级系数为E的恰有2件，所以c＝＝0.1.

从而a＝0.35－b－c＝0.1.

所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.（6分）

(2)从样品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，所有可能的结果为：

(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，共计10个．

设事件A表示“从样品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，其等级系数相等”，

则A包含的基本事件为：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共4个．

故所求的概率P(A)＝＝0.4.（12分）

19．解：(1) ∵AA1⊥面ABC，BC?面ABC，

∴BC⊥AA1.（1分）

又∵BC⊥AC，AA1，AC?面AA1C1C，AA1∩AC＝A，∴BC⊥面AA1C1C，（3分）

又AC1?面AA1C1C，∴BC⊥AC1.（4分）

(2)(法一)当AF＝3FC时，FE∥平面A1ABB1.（7分）

理由如下：在平面A1B1C1内过E作EG∥A1C1交A1B1于G，连结AG.

∵B1E＝3EC1，∴EG＝A1C1，

又AF∥A1C1且AF＝A1C1，

∴AF∥EG且AF＝EG，

∴四边形AFEG为平行四边形，∴EF∥AG，（10分）

又EF?面A1ABB1，AG?面A1ABB1，∴EF∥平面A1ABB1.（12分）

(法二)当AF＝3FC时，FE∥平面A1ABB1.（9分）

理由如下： 在平面BCC1B1内过E作EG∥BB1交BC于G，连结FG.

∵EG∥BB1，EG?面A1ABB1，BB1?面A1ABB1，

∴EG∥平面A1ABB1.∵B1E＝3EC1，∴BG＝3GC，

∴FG∥AB，又AB?面A1ABB1，FG?面A1ABB1，

∴FG∥平面A1ABB1.

又EG?面EFG，FG?面EFG，EG∩FG＝G，

∴平面EFG∥平面A1ABB1.（11分）

∵EF?面EFG，∴EF∥平面A1ABB1.（12分）

20．解：(1)因为AB＝acosθ，

∴S1＝a·acosθ·sinθ＝a2sin 2θ，

设正方形边长为x，BQ＝，RC＝xtanθ，

则x＋xtanθ＋＝a，解之得x＝

所以S2 ＝（6分）

(2)当a固定，θ变化时＝(＋sin 2θ＋4)，

设sin 2θ＝t，则y＝＝(t＋＋4)．

∵0＜θ＜，∴0＜t≤1，f(t)＝t＋(0＜t≤1)，

易证f(t)在(0，1]上是减函数．

故当t＝1时，取最小值， 此时θ＝.（12分）

21．解：(1) 由条件知lAB：y＝x－