高2014级学生学业调研抽测(第一次)

数学试题卷（理科）

数学试题卷（理科）共4页。满分150分。考试时间120分钟.

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用
毫米的黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并收回。

特别提醒：

14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确答案的代号填涂在答题卡上.

1．已知全集
，集合
，
，则

A．
B．
C．
D．
【

2．“
”是“
”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．函数
的零点所在区间是

A．
B．
C．
D．

4．
展开式中常数项为

A．

B．
C．
D．

5.某小卖部销售一品牌饮料的零售价
（元/瓶）与销量
（瓶）的关系统计如下：[来源:学*科*网Z*X*X*K]

零售价
（元/瓶）















销量
（瓶）

50

44

43

40

35

28



已知
的关系符合线性回归方程
，其中

，
．当单价为
元时，估计该小卖部销售这种品牌饮料的销量为

A．
B．
C．
D．

6．过双曲线
的左焦点
作圆
的两条切线，切点分别为

、
，双曲线左顶点为
，若
，则该双曲线的离心率为

A．
B．
C．

D．

7．设点（
）是区域
内的随机点，函数
在区间[
）

上是增函数的概率为

A．
B．
C．
D．

8．设
为抛物线
的焦点，
为该抛物线上三点，若
，

则
的值为

A．
B．
C．
D．12

9．在
点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于
点，一分钟后，其位置在
点，且
，再过两分钟后，该物体位于
点，且
，则
的值为

A．
B．
C．
D．
【来源：全,

10．已知函数
，且
，则当
时，

的取值范围是

A．
B．
C．
D．

二．填空题：本大题6个小题，考生作答5个小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应的位置上．

11．设向量
，
，则向量
在向量
上的投影为 .

12. 已知函数
，则
.

13.任取集合
中的三个不同数
，且满足
，
,

则选取这样三个数的方法共有 种.（用数字作答）

考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.

14．如图，
是半圆
的直径，
在
的延长线上，

与半圆相切
于点
，
，若
，

，则
.

第14题图

15．在直角坐标系
中，以原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若点
为

直线
上一点，点
为曲线
为参数）上一点，则
的最小值为 .

16．若函数
的定义域为
，则实数
的取值范围为 .

三．解答题：本大题6个小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上．

17．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）

已知函数
.

（Ⅰ）若
，求函数
的单调区间和极值；

（Ⅱ）设函数
图象上任意一点的切线
的斜率为
，当
的最小值为1时，求此时切线
的方程.

18．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分．）

为了参加2013年市级高中篮球比赛
，该市的某区决定从四所高中学校选出
人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：

学校

学校甲

学校乙

学校丙

学校丁



人数











该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军,现要从中选出两名队员代表冠军队发言．[来源:学科网]

（Ⅰ）求这两名队员来自同一学校的概率；

（Ⅱ）设选出的两名队员中来自
学校甲的人数为
，求随机变量
的分布列及数学期望
．

19．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）

设
，函数
满足
．

（Ⅰ）求
的单调递减区间；

（Ⅱ）设锐角△
的内角
、
、
所对的边分别为
、
、
，

且
， 求
的取值范围．

20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）

已知数列
的前
项和为
，且
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，
，

求使
恒成立的实数
的取值范围．

21．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分．）

已知椭圆
：

的左、右焦点分别为
、
，椭圆上的点
满足
，且△
的面积为
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设椭圆
的左、右顶点分别为
、
，过点
的动直线
与椭
圆
相交于

、
两点，直线
与直线
的交点为
，证明：点
总在直线
上.

22．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分．）[来源:学科网]

已知函数

．

（Ⅰ）若函数
在
上为增函数，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）当
且
时，证明：
.

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数学（理科）参考答案及评分意见

一. 选择题：1-5：D C B A D 6-10：D C B B A

二．填空题：11．
12.
13.
14．
15．
16．

三．解答题：

17．解：（I）
的定义域为（
）时
，…………………………………………1分

当
时，
……………………………2分

由
得
，

由
得
，或
，由
得
，………3分

∴
的单调递增区间为
，
；单调递减区间为
…………5分

∴
极大值为
；极小值为
………………………7分

（II）由题意知
∴
……………………9分

此时
，即
，∴
，切点为
，…………………………11分

∴此时的切线
方程为：
． ………………………………………13分

18．解：（I）“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于
同一学校”记作事件
，

则
．…………………………………………6分

（II）
的所有可能取值为
………………………………………………7分

则
，
，

∴
的分布列为：



















…………………………………………
…
………………………………10分

∴
……………………………………………13
分

19．解：（I）
…………2分

由
得：
，
∴
…………………………4分

∴
………………………………………………5分

由
得：
，

∴
的单调递减区间为：
…………………………7分

（II）∵
，由余弦定理得：
，…8分

即
，由正弦定理得：
，

，
，∴
……………………11分

∵△
锐角三角形，∴
，
…………………12分

∴
的取值范围为
． ………………………………13分

20．解：（I）由
可得
，…………………