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安溪八中2014届高三上学期10月份质量检测 数学(理)试题 时间：2013.10.26 一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合要求的） 1.将集合用列举法表示，正确的是 （ ） A． B． C． D． 2．下列命题错误的是（ ） A．命题“若，则“的逆否命题为”若“ B．若命题，则 C．若为假命题，则，均为假命题 D．的充分不必要条件 3. 已知点在幂函数的图象上,则是( ) A．奇函数 B．偶函数 C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数 4.设，则（ ） ． ． ． ． 5．已知=则的值等于( ) A．-2 B．4 C．2 D．-4 6、若奇函数的定义域是，则等于( ) A．3 B．－3 C．0 D．无法计算 7、函数的大致图像是( )
A B C Ｄ A． B． C． D． 8．关于的方程在上有解，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．若是偶函数，且当x∈时，，则的解集是（ ） A．{|－1 << 0} B．{| < 0或1< < 2} C．{| 0 < < 2} D．{| 1 << 2} 10．已知是定义在 ]上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，且满足下列条件： ①的值域为，且； ②对任意不同的，都有； 那么关于的方程在上的根的情况是 A．没有实数根 B．有且只有一个实数根 C．恰有两个不同的实数根 D．有无数个不同的实数根 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置。） 11．若函数的图象过点，函数是的反函数，则________ 12. 曲线与直线所围成图形面积为_________． 13、函数的递增区间是 . 14．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为，其中为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 万元． 15.对任意中任取两个元素，定义运算，其中是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.已知，并且集合中存在一个非零常数，使得对任意，都有，则称是集合的“钉子”.集合的“钉子”为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 16.(本小题满分13分) 设函数的定义域为集合，集合 (Ⅰ)若,求实数的取值范围. (Ⅱ)若，求实数的取值范围 17、（本小题满分13分） 给定函数（为实常数），， (Ⅰ)若函数在上的最大值为，求实数的取值集合； (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若在区间上恒成立时实数的取值集合为，全集为，求 18.(本小题满分13分) 已知点，直线，动点到点的距离等于它到直线的距离. （Ⅰ）试判断点的轨迹的形状，并写出其方程. （Ⅱ）是否存在过的直线，使得直线被截得的弦恰好被点所平分？ 19. （本小题满分13分） 某设计部门承接一产品包装盒的设计（如图所示），客户除了要求、 边的长分别为和外，还特别要求包装盒必需满足：①平面平面；②平面与平面所成的二面角不小于；③包装盒的体积尽可能大。 若设计出的样品满足：与均为直角且长，矩形的一边长为，请你判断该包装盒的设计是否符合客户的要求？说明理由。 20. (本小题满分14分) 已知函数图象在处的切线方程为. （Ⅰ） 求函数的极值； （Ⅱ）若的三个顶点(在、C之间)在曲线（上，试探究与的大小关系，并说明理由； （Ⅲ）证明： (． 21、本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。 （1）选修4-2:矩阵与变换 已知,若矩阵所对应的变换把直线:变换为自身,求. （2）选修4—4:坐标系与参数方程 求圆被直线(是参数)截得的弦长. （3）选修4—5：已知函数， ①若不等式的解集为{|},求实数的值; ②在①的条件下,若对一切实数恒成立,求实数的取值范围. 安溪八中2014届高三上学期10月份质量检测 数学(理)试题参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C A A B C B C C B 10解：由①知g（a）=f（a）-a≥a-a=0，g（b）=f（b）-b≤b-b=0 设a≤x1≤x2≤b，由②知f（x2）-f（x1）＜x2-x1，f（x2）-x2＜f（x1）-x1，g（x2）＜g（x1） 函数g（x）在区间[a，b]上是减函数，从而函数g（x）在区间[a，b]上有且只有一个零点． 故选B． 11 12 13 14 45.6 15 4 16、依题意得（1）（2） 17、 18解：（Ⅰ）因点到点的距离等于它到直线的距离，所以点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线， ………………2分 其方程为. ………………5分 （Ⅱ）解法一：假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于， 依题意，得. ………………6分 ①当直线的斜率不存在时，不合题意. ………………7分 ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，………8分 联立方程组， 消去，得，（*） ………………9分 ∴，解得. ………………10分 此时，方程（*）为，其判别式大于零， ………………11分 ∴存在满足题设的直线 ………………12分 且直线的方程为：即. ………………13分 解法二：假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于， 依题意，得. ………………6分 易判断直线不可能垂直轴， ………………7分 ∴设直线的方程为，………8分 联立方程组， 消去，得， ………………9分 ∵, ∴直线与轨迹必相交. ………………10分 又，∴. ………………11分 ∴存在满足题设的直线 ………………12分 且直线的方程为：即. ………………13分 解法三：假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于， 依题意，得. ………………6分 ∵在轨迹上， ∴有，将，得. ………8分 当时，弦的中点不是，不合题意， ………9分 ∴，即直线的斜率, ………10分 注意到点在曲线的张口内（或：经检验，直线与轨迹相交）…11分 ∴存在满足题设的直线 ………………12分 且直线的方程为：即. ………………13分 19．解：该包装盒的样品设计符合客户的要求。 法一：（1）以下证明满足条件①的要求. ∵四边形为矩形，与均为直角， ∴且 ∴面， 在矩形中，∥ ∴面 ∴面面 …………………………………………3分 （2）以下证明满足条件②、③的要求. ∵矩形的一边长为， 而直角三角形的斜边长为， ∴ 设，则， 以为原点，分别为轴的正半轴建立空间直角坐标系， 则，，， 设面的一个法向量为， ， ∵ ∴，取，则…………6分 而面的一个法向量为， 设面与面所成的二面角为，则， ∴， ∴， 即当时，面与面所成的二面角不小于.……………8分 又， 由与均为直角知，面， 该包装盒可视为四棱锥，
当且仅当，即时，的体积最大，最大值为. ………………………………………………12分 而，可以满足面与面所成的二面角不小于的要求， 综上，该包装盒的设计符合客户的要求。 ……………………………13分 法二：（1）面面的证明同法一， ……………………………3分 （2）以下证明满足条件②、③的要求. 设， 同法一可得时，的体积最大值为，…8分 当时，， 以为原点，分别为轴的正半轴建立空间直角坐标系， 则，，， 设面的一个法向量为， ， ∵ ∴，取，则 ……………………11分 而面的一个法向量为， 设面与面所成的二面角为，从图形知 ∴， ∴ 即的体积最大时，面与面所成的二面角大于 综上，该包装盒的设计符合客户的要求。 ……………………………13分 20．（本小题满分14分） Ⅰ）解：，由题意得， 则解得 ……………………2分 由得在上是减函数，在上是增函数，故的极小值，的极大值 ………4分 (Ⅱ) 证明：设、、且 （ =，函数在（1，+ 上单调递增,由得 ……………………6分 则=(，则B是钝角 由余弦定理得,即， 由正弦定理得<.则， 又是（1，）上的增函数， ………9分 (Ⅲ) 证明：当时不等式成立, ……………………10分 当时,构造函数 ,由(Ⅰ)得是上的减函数, 将区间()等分,由定积分定义及几何意义得 ……………………14分 21、（1）对于直线上任意一点,在矩阵对应的变换作用下变换成点, 则, 因为,所以, ………2分 所以解得 ……………4分 所以, …………………6分 所以 …………………7分 （2）解:将极坐标方程转化成直角坐标方程: 即:,即; ……2分 即: , ………………………….4分 , ……………………………………6分 即直线经过圆心,所以圆被直线截得的弦长为 ………………7分 (3)由得|x-a|解得a+3. 又已知不等式的解集为{x|}, ………2分 所以 解得a=2. …………………………………………………4分 (2)当a=2时,f(x)=|x-2|.设g(x)=f(x)+f(x+5). 由|x-2|+|x+3||(x-2)-(x+3)|=5(当且仅当时 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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