2013年秋季安溪八中高三年第一学段质量检测

数学试题 (理科) 命题人：陈秋水 131107

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．

1.已知集合
，集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.函数
的定义域是( )

A.
B.
C.
D.

3．函数
是（ ）

A．最小正周期为的偶函数 B． 最小正周期为
的偶函数

C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为
的奇函数

4. 在平面直角坐标系中,若角的顶点在坐标原点,始边在轴的非负半轴上,终边经过点
(其中
),则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

5.下列结论错误的是（　　）

　　A．命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题

B．“
”是“
”的充分而不必要条件

C．为得到函数
的图象只需把
的图象向右平移
个长度单位

D．命题
，则
是假命题

6．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f(2)＝0，则不等式
的解集为 (　　)

A．(－∞，－2]∪(0,2] B．[－2,0]∪[2，＋∞)C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2,0)∪(0,2]

7.若二次函数
的导函数
的图象如右所示，则二次函数
的顶点在（ ）

A.第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限

8. 若函数
的图象（部分）如图所示，

则和的取值是 ( )

A．
B．

C．
D．

9.若函数
，则关于x的函数
的零点的个数为（ 　）

A．2 B．3 C．4 D．5

10．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意
a*b为唯一确定的实数，且具有性质：

（1）对任意
a*0=a；

（2）对任意
(a*b)*c=(ab)*c +(a*c)+(b*c)-2c.

如：3*2 =(3*2)*0= (3(2)*0+(3*0)+(2*0)-2(0=6+3+2-0=11.

关于函数
*
的性质，有如下说法：

①函数
的最小值为3； ②函数
的图像关于点（0，1）成中心对称

③函数
为奇函数； ④函数
的单调递增区间为
.

其中所有正确说法的个数为 （ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卷相应位置．

11．若
。

12. 若
，则
__________。

13．函数
的单调递减区间为 .

14. 曲线
，
与直线
，
所围成的平面区域的面积为______________.

15．设
，其中
. 若
对一切
恒成立，则 ①
; ②
的图像关于
对称；

③
的单调递减区间是
；④
；

⑤存在经过点
的直线与函数
的图象相交．

以上结论正确的是__________________（写出所有正确结论的编号）．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. （本小题满分13分）某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P(亿元)和Q(亿元)，它们与投资额t(亿元)的关系有经验公式P=
，Q=
t,今该公司将5亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资x(亿元)，投资这两个项目所获得的总利润为y(亿元)．求:

(1)y关于x的函数表达式；

(2)求总利润的最大值．

17. （本小题满分13分）已知函数

（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）当
时，求函数
的值域．

18. （本小题满分13分）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，点是轴上方椭圆上的一点，且
,
,
．

(Ⅰ) 求椭圆的方程和点的坐标；

（Ⅱ）判断以
为直径的圆与以椭圆的长轴为直径的圆的位置关系；

19. （本小题满分13分）如图所示，在三棱锥
中，

，平面
平面
，
于点，

，
，
．

（1）证明△
为直角三角形；

（2）求直线
与平面
所成角的正弦值．

20．（本小题满分14分） 设函数
（
），
．

(Ⅰ) 将函数
图象向右平移一个单位即可得到函数
的图象，试写出
的解析式及值域；

(Ⅱ) 关于的不等式
的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；

(Ⅲ) 对于函数
与
定义域上的任意实数，若存在常数
，使得
和
都成立，则称直线
为函数
与
的“分界线”．设
，
，试探究
与
是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

21．本题有（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多作则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将选题号填入括号中.

（Ⅰ）.(本小题满分7分) 选修4一2:矩阵与变换

如果曲线

在矩阵
的作用下变换得到曲线
，求
的值。

（Ⅱ）.(本小题满分7分) 选修4一4:坐标系与参数方程

已知曲线的极坐标方程是
，直线的参数方程是
（为参数）．

（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设直线与轴的交点是
，是曲线上一动点，求
的最大值．

（Ⅲ）.（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

设函数

（1）解不等式
；

（2）若
的取值范围。

2013年秋季安溪八中高三年第一学段质量检测

数学试题 (理科) 参考答案

一、选择题:DBABB DCDBC.

二、填空题：11．
12. 1 13．
14.
15．①②⑤

三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.解：(1)根据题意，得y=
x∈[0，5]．………… 4分

(2)令t=
，t∈［0,
］，则x=
，………… 7分

y=
………… 10分

因为2∈［0,
］，所以当
=2时，即x=2时，y最大值=0.875．………… 12分

答：总利润的最大值是0.875亿元．………… 13分

17.解：

………… 4分

（Ⅰ）由
，得
，

所以
的单调递增区间为
，
………… 8分

（Ⅱ）∵
∴

∴
………… 12分

∴

∴函数
的值域为
………… 13分

18．解: (Ⅰ)
在椭圆上
, …………….2分

,
……………….4分

,
.

所以椭圆的方程是：
……………….6分

，

……….7分

（Ⅱ）线段
的中点

∴ 以
为圆心
为直径的圆
的方程为

圆
的半径
…………….9分

以椭圆的长轴为直径的圆的方程为：
，圆心为
，半径为
….11分

圆
与圆
的圆心距为
所以两圆相内切 ………13分

19.解：（1）以点为坐标原点，以
，
所在的直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系
，…………………………………………………1分

则
，
，
．

于是
，
．

因为
，

所以
．所以
．

所以
为直角三角形．………………………6分

（2）由（1）可得，
．

于是
，
，
．…………8分

设平面
的法向量为
，

则
即

取
，则
，
．所以平面
的一个法向量为
．……10分

设直线
与平面
所成的角为
，

则
………12分

所以直线
与平面
所成角的正弦值为
．……………………………13分

20.解：（Ⅰ）
，值域为
.　　…………2分

（Ⅱ）解法一:不等式
的解集中的整数恰有3个，

等价于
恰有三个整数解，故
，　　　　　　

令
，由
且
，

所以函数
的一个零点在区间
，

则另一个零点一定在区间
，故
解之得
．…8分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

…………9分

…………10分

…………11分

…12分

下面证明
恒成立．

设
，则
．

所以当
时，
；当
时，
．

因此
时
取得最大值
，则
成立．………13分

故所求“分界线”方程为：
．　…………14分

21．（Ⅰ）解：设点
在矩阵
的作用下变换得到
，

则

，所以
……………4分

则
，展开得

比较系数得：
　　　………6分

解得　
，　所以
…………………7分

（Ⅱ）解：（1）曲线的极坐标方程可化为
． ……………1分

又
,

所以曲线的直角坐标方程为
． ………………3分

（2）将直线l的参数方程化为直角坐标方程,得
．……………4分

令
,得
,即
点的坐标为(2,0)．

又曲线为圆，圆的圆心坐标为(0,1)，半径
，则
． ………6分

所以
．

所以
的最大值为
。…………………7分

（Ⅲ）（1）∵

∴当x<1时，3－2x>3，解得x<0；

当1
无解

当x>2时2x－3>3，解得x<3.

综上，x<0或x>3，

∴不等式f（x）>3的解集为
……………………4分

（2）∵
∴

∵
恒成立

∴a<1，即实数a的取值范围是
………………………………7分