2014年兰州市高三第一次诊断考试数学（文科）试卷

本试卷满分150分，考试时间120分钟.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效。

第Ⅰ卷

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）

1. 已知集合
，
，则
( )

A．
B．
C．
D．

2.是虚数单位,复数
= ( )

A．
B．
C．
D．

3.已知等差数列
中，
，记
，S13=( )

A．78 B．68 C．56 D．52

4.如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为 ( )

A．
B．
C．
D．

5.设
,则（　　）

A．c﹤b﹤a B．a﹤c﹤b C. c﹤a﹤b． D．b﹤c﹤a

6. 已知
是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：

①若
；　　　　②若
；

③如果
相交；

④若

其中正确的命题是 （ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

7. 对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（xi，yi)(i=1，2，…，8)，其回归直线方程是
：，且x1+x2+x3+…+x8=2(y1+y2+y3+…+y8)=6，则实数a的值是（ ）

A.
B.
C.
D.

8．已知双曲线

的左、右焦点分别为
，以
为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为
，则此双曲线的方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 执行如图所示的程序框图，那么输出的S为(　　)

(A)3 (B)

(C) (D)－2

(第10题图)

10设
,
，若
，
，则
的最大值为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

11.如图，矩形
的一边
在轴上，另外

两个顶点
在函数
的图象上

.若点
的坐标
，

记矩形
的周长为
，

则
（ ）

A．208 B.216 C.212 D.220 （第11题图）

12. 设
的定义域为，若
满足下面两个条件则称
为闭函数：①
是上单调函数；②存在
，使
在
上值域为
. 现已知
为闭函数，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 （90分）

填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若等比数列
的首项是
，公比为，
是其前项和，则
=_____________.

14．如果实数x，y满足条件
，

那么目标函数z＝2x－y的最小值为____________.

15．如图，过抛物线
的焦点F的直线
依次交抛物线

及其准线于点A、B、C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程是 。

16.函数
，定义使
为整数的数
叫做企盼数，则在区间[1，2013]内这样的企盼数共有 个

三、解答题：本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本题满分12分）已知
的三内角、、
所对的边分别是，
，，向量
＝(cosB，cosC)，
＝(2a+c，b)，且
⊥
.

（1）求角的大小；

（2）若
，求
的范围

18（本小题满分12分）公安部交管局修改后的酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其判断标准是驾驶人员每100毫升血液中的酒精含量X毫克，当20≤X<80时，认定为酒后驾车；当X≥80时，认定为醉酒驾车，张掖市公安局交通管理部门在对我市路段的一次随机拦查行动中，依法检测了200辆机动车驾驶员的每100毫升血液中的酒精含量，酒精含量X（单位：毫克）的统计结果如下表：．

X















人数

t

1

2

1

1

1



 依据上述材料回答下列问题：

(1)求t的值：

(2)从酒后违法驾车的司机中随机抽取2人，求这2人中含有醉酒驾车司机的概率

19.（本题满分12分）如图，在四棱锥
中，

底面
，
是直角梯形，

，
，

是
的中点。

（1）求证:EC//平面PAD

（2）求证：平面
平面

20．（本小题满分l2分）设椭圆
的焦点分别为
、
，直线
：
交轴于点，且
．

（1）试求椭圆的方程；

（2）过
、
分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于、、
、
四点（如图所示） 试求四边形
面积的最大值和最小值．

21.（本小题满分12分）

已知函数
，

（1）当
且
时，证明：对
，
；（2）若
，且
存在单调递减区间，求的取值范围；

（3）数列
，若存在常数
，
，都有
，则称数列
有上界。已知
，试判断数列
是否有上界．

四、选做题：

22.（本题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，
是直角三角形，
，以
为直径的圆
交
于点，点是
边的中点，连接
交圆
于点
.

（1）求证：
、、、四点共圆；

（2）求证：

23.（本题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，以原点O为极点，以轴正半轴为极轴，与直角坐标系
取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C参数方程为
（
为参数），直线
的极坐标方程为
.

（1）写出曲线C的普通方程和直线
的直角坐标方程；

（2）求曲线C上的点到直线
的最大距离，并求出这个点的坐标。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

(1) 已知、都是正实数，求证：
；

(2) 如果关于的不等式
在上恒成立，求实数的取值范围．

数学（文科）答案

（仅供参考）

一、选择题：1——6 D A D D C D 7——12 B C C B B A

二、填空题：

13
14 —3， 15
，16 9

解答题：

17.解：∵ m＝(cosB，cosC)，n＝(2a+c，b)，且m⊥n.

∴cosB(2a+c)+ b cosC=0。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分

∴cosB(2sinA+sinC)+ sinB cosC=0

∴2cosBsinA+cosBsinC+ sinB cosC=0

即2cosBsinA=－sin（B+C）=－sinA。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

∴cosB=－1／2

∵0≤B≤180

∴B=120.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

（2）由余弦定理，得

当且仅当
时，取等号.。。。。10分

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 11分

又

。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

18（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）200-6=194 ……………4分

（Ⅱ）令酒后驾车的司机分别为
、D,醉酒驾车的司机分别为

则所有抽取的可能为
,
,(A,D)
,
,(B,D)
,
(C,D),(D,a),(D,b)

则含有醉酒驾车司机概率为
……………12分

19（本小题满分12分）

作线段AB的中点F.连接EF,CF.则AF=CD AF∥CD

所以四边形ADCF是平行四边形

则CF∥AD

又EF∥AP 且CF∩EF=F

∴面CFE∥面PAD

又EC包含于面CEF

∴EC//平面PAD …………6分

（2）（Ⅰ）法一：几何方法证明：勾股定理→AC⊥BC，由已知得AC⊥PC，证出AC⊥平面PCB，得证.…………………………………………….6分

20（本题12分）

解：（1）由题意，

为
的中点　　　　

即：椭圆方程为
…………………………………………(５分)

（2）当直线
与轴垂直时，
，此时
，四边形
的面积
．同理当
与轴垂直时，也有四边形
的面积
． 当直线
，
均与轴不垂直时，设
:
，代入消去得：
设

所以，
，所以，
，

同理
………………………9分

所以四边形的面积

令

因为
当
，

且S是以u为自变量的增函数，所以
．

综上可知，
．故四边形
面积的最大值为4，最小值为
．……12分

21。解：⑴当
且
时，设
，
，
……1分，解
得
。

当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，所以
在
处取最大值，即
，
，
即
……4分

（2）若
，
=

所以

因为函数
存在单调递减区间，所以
在
上有解

所以
在
上有解

所以
在
上有解，即
使得

令
，则
，研究
，当
时，

所以
…………8分

（3）数列
无上界

，设
，
，由⑴得
，
，所以


，
，取为任意一个不小于
的自然数，则
，数列
无上界。…………12分

四、选做题

22.证明：（1）连接
、
，则

又是BC的中点，所以

又
，

所以
.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分

所以

所以
、、、四点共圆 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分

（2）延长
交圆
于点

因为

.。。。。。。。。。。。7分

所以

所以
。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

23.（1）曲线C：
，直线
：
。。。。。。。。。。。。。5分

（2）
P（
）。。。。。。。。。。。。。。。。10分

24.（1）证明：由

。。。。。。3分

又、都是正实数，

所以
、
，即

所以
。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分

(2) 设
，由函数
的图像与
的图像可知：

在
时取最小值为6，
在
时取最大值为，

若
恒成立，则
. 。。。。。。。。。。10分