本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
,且
，那么m的值可以是

A．1 B．2 C．3 D．4

2．复数
（i是虚数单位）在复平面内对应的点在

A. 第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

3．
是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒

物，也称为可入肺颗粒物，右图是据某地某日早7点至晚8

点甲、乙两个
监测点统计的数据（单位：毫克／每立方

米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是

A．甲 B．乙

C．甲乙相等 D．无法确定

4．如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视

图是平行四边形，则该几何体的表面积为

A．
B．

C．
D．

5．已知曲线
的一条切线的斜率为
，则切点的横坐标为

A.3 B. 2 C．1 D．

6．已知各项不为0的等差数列
满足
，数列
是等比数列，且
，则
等于

A．1 B．2 C．4 D．8

7．二项式
的展开式的第二项的系数为
，则
的值为

A.3 B．
C．3或
D．3或

8．已知抛物线
，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为

A．x=l B．
C．
D．

9．设函数
，且其图象关于直线
对称，则

A．
的最小正周期为，且在
上为增函数

B．
的最小正周期为，且在
上为减函数

C．
的最小正周期为
，且在
上为增函数

D．
的最小正周期为
，且在
上为减函数

10．已知a，b是两个互相垂直的单位向量，且
，则对任意的正实数t，

的最小值是

A.2 B．
C．4 D．

11．已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点，则椭圆
的离心率e的取值范围为

A.
B.
C.
D.

12.已知数列
的通项公式为
，其前n项和为
，

则在数列
、
、…
中，有理数项的项数为

A．42 B．43 C．44 D．45

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22—24题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．设
满足约束条件
， 则
的取值范围为________．

14．执行右面的程序框图，若输出的
，则输入的整

数的值为__________．

15.已知三棱柱
的侧棱垂直于底面，各顶

点都在同一球面上，若该棱柱的体积为
．

，则此球的表面积等于_________．

16．定义在R上的函数
的单

调增区间为（-1，1），若方程
恰有

6个不同的实根，则实数a的取值范围是__________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

如图△ABC中，已知点D在BC边上，满足

．

(I)求AD的长;

(Ⅱ)求cosC．

18.（本小题满分12分）

为迎接2014年“马”年的到来，某校举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题，问题A有三个选项，问题B有四个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题A可获奖金a元，正确回答问题B可获奖金b元．活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答正确，则继续答题，否则该参与者猜奖活动终止．假设一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生．

(I)如果参与者先回答问题A，求其恰好获得奖金a元的概率；

(Ⅱ)试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大．

19.（本小题满分12分）

在三棱柱
中，侧面
为矩形，
，D为
的中

点，BD与
交于点O，
侧面
．

(I)证明：
；

(Ⅱ)若
，求直线
与平面ABC所成角的

正弦值．

20．（本小题满分12分）

已知△ABC的两顶点坐标
，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，
（从圆外一点到圆的两条切线段长相等），动点C的轨迹为曲线M．

(I)求曲线M的方程；

(Ⅱ)设直线BC与曲线M的另一交点为D，当点A在

以线段CD为直径的圆上时，求直线BC的方程．

21.（本小题满分12分）

已知函数
．

(I)若
恒成立，求实数
的值；

(Ⅱ)若方程
有一根为
,方程
的根为
，是否存在实数
，使
若存在，求出所有满足条件的
值；若不存在，说明理由，

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲

如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．

(I)若
，求
的值；

(Ⅱ)若
，证明：EF∥CD．

23.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

已知曲线
(t为参数)，
(
为参数)．

(I)化
，
的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;

(Ⅱ)过曲线
的左顶点且倾斜角为
的直线
交曲绒
于A，B两点，求
.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
.

(I)若
的最小值为3，求a值；

(Ⅱ)求不等式
的解集，

2014年高中毕业年级第一次质量预测

数学（理科） 参考答案

选择题

ADACB DBCBB AB

填空题

13.
； 14.
； 15.
； 16.
.

三、解答题

17．解：(1) 因为
，所以
,

即
,…………………………….2分

在
中，由余弦定理可知
，

即
，

解之得
或
……………………………………………….6分

由于
，所以
…………………………………………………..7分

(2) 在
中，由正弦定理可知
，

又由
可知
，

所以
,

因为
,

所以
.……………………………………………………..12分

18．解：随机猜对问题的概率
，随机猜对问题的概率
．………… 2分

⑴设参与者先回答问题，且恰好获得奖金元为事件
,

则
,

即参与者先回答问题，其恰好获得奖金元的概率为
. ………………4分

⑵参与者回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：

①先回答问题，再回答问题．参与者获奖金额
可取
，

则
，
，

②先回答问题，再回答问题，参与者获奖金额，可取
，

则
，
，

………… 10分

于是，当
，时
，即先回答问题A，再回答问题B，获奖的期望值较大； 当
，时
，两种顺序获奖的期望值相等；当
，时
，先回答问题B，再回答问题A，获奖的期望值较大.…………………………12分

19.解：(1)证明：由题意
,

注意到
,所以
,

所以
,

所以
, ……………………3分

又
侧面
，

又
与
交于点
，所以
,

又因为
,所以
.……………………………6分

(2)如图，分别以
所在的直线为
轴，

以
为原点，建立空间直角坐标系

则
，
，

，
，
，

又因为
，所以
…………8分

所以
，
，

设平面
的法向量为
，

则根据
可得
是平面
的一个法向量,

设直线
与平面
所成角为，则

………………12分

20.⑴解：由题知

所以曲线
是以
为焦点，长轴长为的椭圆（挖去与轴的交点），

设曲线
：
，

则
，

所以曲线
：
为所求.---------------4分

⑵解：注意到直线
的斜率不为
，且过定点
，

设
，

由

消得
，所以
，

所以
-------------------------------------8分

因为
,所以

注意到点在以
为直径的圆上,所以
,即
,-----11分

所以直线
的方程
或
为所求.------12分

21.⑴解:注意到函数
的定义域为
,

所以
恒成立
恒成立,

设
,

则
, ------------2分

当
时,
对
恒成立,所以
是
上的增函数,

注意到
,所以
时,
不合题意.-------4分

当
时,若
,
;若
,
.

所以
是
上的减函数,是
上的增函数,

故只需
. --------6分

令
,

,

当
时,
; 当
时,
.

所以
是
上的增函数,是
上的减函数.

故
当且仅当
时等号成立.

所以当且仅当
时,
成立,即
为所求. --------8分

⑵解:由⑴知当
或
时,
,即
仅有唯一解
,不合题意;

当
时,
是
上的增函数,对
,有
，

所以
没有大于的根,不合题意. ---------8分

当
时,由
解得
,若存在
,

则
,即
,

令
,
,

令
,当
时,总有
,

所以
是
上的增函数,即
,

故
,
在
上是增函数,

所以
,即
在
无解.

综上可知,不存在满足条件的实数
. ----------------------12分

22.解：⑴
四点共圆，

，又
为公共角，

∴
∽
∴

∴
.

∴
. ……………………………………………………………… 6分

⑵
，
，

又
，
∽
，

，

又
四点共圆，
，
，

.…………………………………………………… 10分

23.解：⑴

曲线
为圆心是
，半径是1的圆．

曲线
为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．

……4分

⑵曲线
的左顶点为
，则直线
的参数方程为
（为参数）

将其代入曲线
整理可得：
，设
对应参数分别为
，

则

所以
. ……………………………10分

24.解：⑴因为

因为
,所以当且仅当
时等号成立,故

为所求.……………………4分

⑵不等式
即不等式

，

①当
时，原不等式可化为

即

所以，当
时，原不等式成立.

②当
时，原不等式可化为

即
所以，当
时，原不等式成立.

③当
时，原不等式可化为

即
由于
时

所以，当
时，原不等式成立.

综合①②③可知： 不等式
的解集为
……………………10分