武昌区2014届高三年级元月调研考试

文科数学试题参考答案及评分细则

一、选择题：

1．D 2．C 3．A 4．B 5．C 6．C 7．C 8．A 9．A 10．C

二、填空题：

11．72 12．（Ⅰ）
；（Ⅱ）
． 13.
或

14．4 15．②③ 16．（Ⅰ）16；（Ⅱ）
17．

三、解答题：

18．解：（Ⅰ）设等差数列
的公差
，因为
，

所以
解得
，
.

所以
．…………………………………………（6分）

（Ⅱ）因为
，

所以数列
是以
为首项，2为公比的等比数列.

所以
.……………………………………（12分）

19．解：（Ⅰ）因为
，由正弦定理得
．

又
，所以
．因为
，所以
．

因为
，所以
． …………………………………………（5分）

（Ⅱ）因为
，所以

．

，
．

当
，即
时，
；

当
，即
时，
.

所以，函数
的最大值为
，最小值为
．…………………………（12分）

20．解：（Ⅰ）
，
，
.

平面ABC．
．

，
.

平面
.

又
平面
，平面
平面
.…………………………………………（6分）

（Ⅱ）如图，过点E作
于点F，连BF，则
．

平面ABC，
平面ABC．

为BE与平面ABC所成的角.

点为
的中点，点为
的中点.

，
.

在
中，由
，得
．

所以，直线BE与平面ABC所成的角为
.………………………………（13分）

21.解：（Ⅰ）当
时，
，定义域为
.
.

若
，则
，所以，函数
在
上单调递减；

若
，则当
时，
；当
时，
.

所以，函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.………（6分）

（Ⅱ）当
时，
，
.令
，得
.

若在区间
上存在一点
，使得
成立，则
在区间
上的最小值小于0.

（1）当
时，
，所以，
在区间
上单调递减，

故
在区间
上的最小值为
.

由
，得
.所以
.

（2）当
时，①若
，则
对

成立，
在区间
上单调递减，所以，
在区间
上的最小值为
，不合题意.

②若
，当变化时，
，
的变化情况如下表：





















单调递减

极小值

单调递增



所以
在区间
上的最小值为
.

由
，得
，解得
.所以
.

综上可知，实数的取值范围.为
. ………………………（14分）

22．解：（Ⅰ）设
，则
，知
.

过点且与轴垂直的直线方程为
，代入椭圆方程，有

，解得
. 于是
，解得
.

又
，从而
.

所以椭圆
的方程为
． …………………………………………（4分）

（Ⅱ）设
，
.由题意可设直线
的方程为
.

由
消去并整理，得
.

由
，得
.且
.

点
到直线
的距离为
，
，

.

设
，由
，知
.于是
.

由
，得
.当且仅当
时成立.

所以△
面积的最大值为
.…………………………………………（9分）

（Ⅲ）假设存在直线
交椭圆于，
两点，且为△
的垂心.

设
，
因为
，
，所以
.

由
，知
．设直线
的方程为
，

由
得
．

由
，得
，且
,
．

由题意，有
.因为
，

所以
，即
，

所以
．

于是
．解得
或
．

经检验，当
时，△
不存在，故舍去
．

当
时，所求直线
存在，且直线
的方程为
．……………（14分）

附：部分源自教材的试题

题号

出 处



1

必修1第12页第6题，第10题．



2

选修1-2第60页例4，第61第5题



3

选修1-1第11页例3



4

必修2第28页习题1．3第3题．



5

选修1-1第110页A组第9题．



7

必修2第61页练习第（3）题；习题2．2第1（1）题；第65页例1．



12

必修3第127页例3；第133页练习第4题



13

必修2第127页例2．



15

①必修4第119页B组第1（1）题；②必修4第108页A组第2题；

③必修4第119页B组第1（2）题.



16

必修2-2第90页B组第1题



20

必修2第73页A组第3题．