数 学 试 题

一、选择题：

1．已知全集
，集合
，集合
，则下列结论中成立的是（ ）

A．
B．

C
D．

2．命题“
，
”的否定是（ ）

A．不存在
，使
B．
，使

C．
，使
≤
D．
，使
≤

3．若一个角的终边上有一点
且
，则的值为(　　)

A．
B．
C．－4
或
D．

4．下面是关于复数
的四个命题：其中正确的命题是 ( )

①
； ②
； ③
； ④的虚部为-1．

A． ②③ B． ①② C． ②④ D． ③④

5．已知全集U={1，2， 3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则Cu(M
N)=（ ）

A.{5，7} B.{2，4} C.{2.4.8} D.{ 1，3，5，6，7}

6．设
（是虚数单位），则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

7．定义方程
的实数根
叫做函数的“新驻点”，若函数
，

的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．若
且
,使不等式
≥
恒成立，则实数的取值范围为（ ）

A．≤
B．≤ C．≥ D．≥

9．已知
是奇函数，当
时，
，当
时，
的最小值为1，则的值等于(　　)

A．
B．
C．
D．1

10．设
是已知的平面向量且
，关于向量
的分解，有如下四个命题：

①给定向量
，总存在向量
，使
；

②给定向量
和
，总存在实数
和，使
；

③给定单位向量
和正数，总存在单位向量
和实数
，使
；

④给定正数
和，总存在单位向量
和单位向量
，使
；

上述命题中的向量
，
和
在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题：

11．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 项。

12．若
满足约束条件
则
的最小值为 ．

13．若命题“
”是真命题，则实数的取值范围是 。

14．已知定义在上的偶函数满足：
，且当
时，
单调递减，给出以下四个命题：①
；②
是函数
图像的一条对称轴；③函数
在区间
上单调递增；④若方程
．在区间
上有两根为
，则
。以上命题正确的是 。（填序号）

15.不等式
的解集为____________.

三、解答解：本大题共6个小题，共75分

16.已知函数
．

(Ⅰ)求函数的定义域与最小正周期；

(Ⅱ)设
，若
，求的大小．

17.在直角坐标系中，以原点为极点,轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线

，已知过点
的直线
的参数方程为
（为参数），直线
与曲线
分别交于
两点.

（Ⅰ）写出曲线
和直线
的普通方程；

（Ⅱ）若
成等比数列,求的值．

18.如图所示，已知
与⊙
相切，为切点，
为割线，弦
，
相交于点，为
上一点，且
.

（1）求证：
；

（2）求证：
.

19．（小题满分12分）如图，在直三棱柱
中，

，且
．

（Ⅰ)求证：平面
⊥平面
；

（Ⅱ)设是
的中点，判断并证明在线段
上是否存在点，

使
‖平面
；若存在，求三棱锥
的体积．

20.设函数
其中
，曲线
在点
处的切线方程为
．

（I）确定
的值；

（II）设曲线
在点
处的切线都过点（0,2）．证明：当
时，
；

（III）若过点（0,2）可作曲线
的三条不同切线，求的取值范围．

21.（本小题满分14分）已知实数
函数
（为自然对数的底数）．

（Ⅰ)求函数
的单调区间及最小值；

（Ⅱ）若
≥对任意的
恒成立，求实数的值；

（Ⅲ）证明：

答案

一、选择题：1.D 2.C 3.C 4.C 5.C 6.A 7.B 8.D 9.D 10.B

二、填空题：11.13 12.0 13.
．14.①②③④．15.
或
.

三、解答题：

16. (Ⅰ)函数的定义域满足
，
，解得
，
．所以函数的定义域为
．最小正周期为
．

(Ⅱ)
：，
，
，于是
，因为
，所以
，所以
，因而
，
，因为
，所以
，所以
，
．

17.（Ⅰ）
；（Ⅱ）

解析：（Ⅰ）C两边同时乘以，得
，则
；
的参数方程消去得
；

（Ⅱ）将直线的参数表达式代入抛物线得

因为

由题意知，

代入得
.

18.：

20.（I）由
又由曲线
处的切线方程为
，得
故

（II）
处的切线方程为
，而点
在切线上，所以
，化简得
，即满足的方程为
．

下面用反证法证明：假设
处的切线都过点
，则下列等式成立．

由（3）得

又
，故由（4）得
，此时
与
矛盾，
．

（III）由（II）知，过点
可作
的三条切线，等价于方程
有三个相异的实根，即等价于方程
有三个相异的实根．

设
，则
，由于
，故有



0











+

0

－

0

+





↗

极大值1

↘

极小值

↗



由
的单调性知：要使
有三个相异的实根，当且仅当
<0，
．

的取值范围是
．

21.解析：（I）当
，

由
， 得单调增区间为
；

由
，得单调减区间为
， ……………2分