武昌区2014届高三年级元月调研考试

理科数学试题参考答案及评分细则

一、选择题：

1．C 2．B 3．B 4．A 5．D 6.D 7．A 8．C 9．B 10．B

二、填空题：

11．480 12．
（或0．68） 13．

14．（Ⅰ）16；（Ⅱ）
15．（Ⅰ）120；（Ⅱ）80

三、解答题：

16．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）因为
，所以
．

因为
， 所以
，从而
，

所以
．…………………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）因为
，
，根据正弦定理得
，

所以
．

因为
，所以
．

所以△
的面积
．………………………（12分）

17．（本小题满分12分）

解：(Ⅰ) 因为
，且
依次成等比数列，

所以
，即
，

所以
，解得
（
不合要求，舍去）.

所以
.

因为
，所以

所以
是首项为
2，公比为2的等比数列．

所以

所以
……………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）

于是

所以，当
时，
，
=
；

当
时，
，
<
．………………………………………（12分）

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）方法一：

，

；

，

.

平面
. …………………………（6分）

方法二：

平面
，
平面
，

∴
．

又∵
，∴
平面
．

∵
平面
，∴
．

同理可证
．

∵
，

∴
平面
． …………………………………（6分）

（Ⅱ）如图，以为
为x轴，
为y轴，
为z轴，建立空间直角坐标系，

因为
，
，
，得到下列坐标：
，
，
,
，
，
，

．

由（Ⅰ）知，
是平面
的一个法向量.

设平面
的法向量为
，则
.

，
.

令
，
，则
．

∴
．

∴
.

∴平面
和平面
所成的角的正弦值为
．………………（12分）

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）数学合格的概率约为
．

物理合格的概率约为
．…………………………………………（4分）

（Ⅱ）（ⅰ）随机变量
的所有取值为9，4．5，3，-1．5．

；
；

；
．

所以，随机变量
的分布列为:
























．…………………………（9分）

（ⅱ）抽查5位同学物理分数，合格人，则不合格有
人，

总学分为
个．

依题意，得
，解得
．

所以
或
．

设“抽查5位同学物理分数所获得的学分不少于14分”为事件，

则
．……………………………………（12分）

20．（本题满分13分）

解：（Ⅰ）设
，则
，知
.

过点且与轴垂直的直线方程为
，代入椭圆方程，有

，解得
.

于是
，解得
.

又
，从而
.

所以椭圆
的方程为
． …………………………………………（4分）

（Ⅱ）设
，
.由题意可设直线
的方程为
.

由
消去并整理，得
.

由
，得
.

由韦达定理，得
.

点
到直线
的距离为
，
，

.

设
，由
，知
.

于是
.

由
，得
.当且仅当
时等号成立.

所以△
面积的最大值为
.…………………………………………（8分）

（Ⅲ）假设存在直线
交椭圆于，
两点，且为△
的垂心.

设
，
因为
，
，所以
.

由
，知
．设直线
的方程为
，

由
得
．

由
，得
，且
,
．

由题意，有
.

因为
，

所以
，即
，

所以
．

于是
．

解得
或
．

经检验，当
时，△
不存在，故舍去
．

当
时，所求直线
存在，且直线
的方程为
．……………（13分）

21．（本题满分14分）

解：（Ⅰ）
的定义域为
，
．

由
，得
.

当
时，
；当
时，
．

所以，
在
处取得最大值．

由题意知
，所以
．…………………………………（4分）

（Ⅱ）（1）当
时，由
，知
不合题意.

（2）当
时，设
.

则
.

令
，得
，
.

①当
时，
，
在
上恒成立，

因此
在
上单调递增，从而总有
，

即
在
上恒成立.

②当
时，
，对于
，
，

因此
在
上单调递减.

因此，当取
时，
，

即
不成立.故
不合题意.

综上，
的最大值为
. ……………………………………………………（8分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）得：
对任意的
恒成立.

即
对任意的
恒成立.

取
（
，则
，

即
.

当
时，
，不等式成立；

当
时，
.

因为
，

所以

.

综上，
． ………………………………………（14分）