洛阳市201 3——2014学年(上)高三年级统一考试

数学试卷（理） B卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．

一、选择题：本题共12个小题，每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的．

1．设复数z＝
（i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部为

A．1 B．－i C．－1 D．i

2．已知集合A＝{1，2，4}，则集合B＝{（x，y）｜x∈A，y∈A}中元素的个数为

A．3 B．6 C．8 D．9

3．执行右图所示的程序框图，若输入x＝8，则输出y的值为

A．－
B．

C．
D．3

4．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

且
＝4，C＝120°，则△ABC的面积为

A．
B．
C．
D．

5．已知F1，F2是双曲线
的两个焦点，过F1作垂直于x轴的直线与双曲线相交，一个交点为P，则｜PF2｜＝

A．6 B．4 C．2 D．1

6．设实数x，y满足不等式组
则
的取值范围是

A．[0，
] B．[
，
]

C．[0，
] D．[
，
]

7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．12－π B．12－2π

C．6－π D．4－π

8．已知2sinα＋cosα＝
，则tan2α＝

A．
B．
C．－
D．－

9．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有

A．30种 B．60种 C．90种 D．150种

10．已知正三棱柱ABC－
的所有顶点都在球O的球面上，AB＝3，
＝2，则球O

的体积为

A．
B．
C．
D．

11．已知f（x）＝asin2x＋bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≤｜f（
）｜对一切

x∈R恒成立，且f（
）＞0，则f（x）的单调递增区间是

A．[kπ－
，kπ＋
]（k∈Z） B．[kπ＋
，kπ＋
]（k∈Z）

C．[kπ，kπ＋
]（k∈Z） D．[kπ－
，kπ]（k∈Z）

12．已知函数f（x）＝｜x＋
｜－｜x－
｜，若关于x的方程f（x）＝2m有四个不同的实根，则实数m的取值范围是

A．（0，2） B．（2，＋∞） C．（1，＋∞） D．（0，1）

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本题共4个小题,每小题5分,共20分．

13．曲线y＝x lnx在点（e，e）处的切线方程为_____________．

14．已知F1，F2是椭圆
（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆短轴的端点，且

∠F1PF2＝90°，则该椭圆的离心率为___________．

15．用min{a，b}表示a，b两个数中的较小的数，设f（x）＝min{
，
}，那么由函数y＝f（x）的图象、x轴、直线x＝
和直线x＝4所围成的封闭图形的面积为_____________．

16．在平行四边形ABCD中，｜
｜＝4，∠BAD＝60°,E为CD的中点，若
·
＝4，则｜
｜______________．

三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知数列{
}的前n项和
＝2
－
＋2（n为正整数）．

（1）求数列{
}的通项公式；

（2）令
＝
＋
＋…＋
，求数列{
}的前n项和
．

18．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱

形，∠ABC＝60°，平面PAB⊥平面ABCD，

PA＝PB＝2AB．

（1）证明：PC⊥AB；

（2）求二面角B－PC－D的余弦值．

19．（本小题满分12分）

某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有1，2，3三个问题，每位参赛者按问题1，2，

3的顺序作答，竞赛规则如下：

①每位参赛者计分器的初始分均为10分，答对问题1，2，3分别加1分，2分，3分，

答错任一题减2分；

②每回答一题，积分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于12分时，答题结束，进入下一轮；当答完三题，累计分数仍不足12分时，答题结束，淘汰出局．

已知甲同学回答1，2，3三个问题正确的概率依次为
，
，
，且各题回答正确与否相互之间没有影响．

（1）求甲同学能进入下一轮的概率；

（2）用X表示甲同学本轮答题结束时累计分数，求X的分布列和数学期望．

20．（本小题满分12分）

已知动圆过定点A（0，2），且在x轴上截得的弦MN的长为4．

（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；

（2）过点A（0，2）作一条直线与曲线C交于E，F两点，过E，F分别作曲线C的切

线，两切线交于P点，当｜PE｜·｜PF｜最小时，求直线EF的方程．

21．（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝
＋lnx＋1．

（1）若函数f（x）在[1，2]上单调递减，求实数a的取值范围；

（2）若a＝1，k∈R且k＜
，设F（x）＝f（x）＋（k－1）lnx－1，求函数F（x）在

[
，e]上的最大值和最小值．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分．做答

时。用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲．

如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，

垂足为E，弦BM与CD交于点F．

（1）证明：A，E，F，M四点共圆；

（2）证明：
＋BF·BM＝
．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程．

极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极

轴．已知直线l的参数方程为
（t为参数）．曲线C的极坐标方程为

ρ
＝8cosθ．

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴的交点为F，求
＋
的值．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲．

设函数f（x）＝｜x＋1｜－｜x－2｜．

（1）求不等式f（x）≥2的解集；

（2）若不等式f（x）≤｜a－2｜的解集为R，求实数a的取值范围．