理科解答定稿

一、选择题：CBADCB AABBCC

二、填空题

13. 2 14．

15．100 16．①③

三、解答题

17. 解：（Ⅰ）由条件结合正弦定理得，

从而
，

∵
，∴
．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（Ⅱ）法一：由正弦定理得：
.

∴
，
，．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

.．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

∵

∴
，即
（当且仅当
时，等号成立）

从而
的周长的取值范围是
.．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

法二：由已知：
，

由余弦定理得：

（当且仅当
时等号成立）

∴（
，又
，

∴
，

从而
的周长的取值范围是
.．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

18. 解：(1)证明：an＋1＝f(an)＝＝，∴＝＋，即－＝.

∴是首项为1，公差为的等差数列．

由(1)知是等差数列，∴＝1＋(n－1).整理得an＝.．．．．．．．6分

(2)bn＝an·an＋1＝·＝a2.

设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝a2

＝a2＝a2·＝.

∴数列{bn}的前n项和为. ．．．．．．12分

19.解（1）设“从甲层取出的2本书均为数学书”的事件为A，“从乙层取出的2本书均为数学书” 的事件为B，由于A、B相互独立，记“取出的4本书都是数学书的概率”为P1.

P1 = P(AB) = P(A)P(B)
………………… 3分

(2)设“从甲层取出的2本书均为数学书，从乙层取出的2本书中，1本是英语，1本是数学” 的事件为C, “从甲层取出的2本书中，1本是英语，1本是数学，从乙层取出的2本书中均为数学” 的事件为D, 由于C, D互斥，记“取出的4本书中恰好有1本是英语书的概率”为P2.

P 2= P(C+D) = P(C)+P(D) =
……………… 6分

(3)由题意，
可能的取值为0, 1, 2，3

P(
=0) =
, P(
=1) =
, P(
=2) =

P(
=3) =
………………… 9分

所以
的分布列为

0

1

2

3



P











………………… 10分

………………… 12分

20.解法1：（1）取
的中点
，连结
，
.

，四边形
为平行四边形，

又由
面
知
四边形
为矩形，
………………4分

又
，
平面
…………6分

（2）作
垂直直线
于，连接
.

由（Ⅰ）知平面
平面
，

从而
平面
，

即为直线
与平面
所成的角.……8分

易知
，
，

于是
，

，直线
与平面
所成的角的正弦值为
.…12分

解法2：易知
两两垂直，且
，

故以
为原点，以
为轴建立空间直角坐标系如图，

则
，

所以
，
，
，
.……2分

（1）


，

又
，
平面
………6分

（2）设面
的法向量为
，

由


，令
，则
……………8分

又
， 设直线
与平面
所成的角为
，则

. ………12分

21.解：（1）C：
………………3分

（2）易知
,
,设A(x1,y1),B(x2,y2)

由

………………6分

又由
得：
，

………………8分

（3）m=0时,得N(
,0),猜想:m变化时, 直线AE与BD相交于定点N(
,0),

由（2）知A(x1,y1),B(x2,y2)于是 D(4,y1),E(4,y2)，

先证直线AE过定点N：直线AE的方程为：

当x=
时

所以，点N在直线AE上，同理可得点N在直线BD上。即：m变化时, 直线AE与BD相交于定点N(
,0), ………………12分

22.解：（1）
，
，

．

所以，
时，
，
单调递增；

时，
，
单调递减．

所以，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
． ……………3分

（2）（法1）对任意的正实数
，且
，

取
，则
，由（1）得
，

即
，

所以，
…①； ………………………5分

取
，则
，由（1）得
，

即
，

所以，
……②．

综合①②，得
． ………………………7分

（法2）因为
，

所以，当
时，
；当
时，
．

故
在
上单调递增，在
上单调递减．

所以，对任意的正实数
，且
，有
，
．……5分

由
，得
，即
，

所以
．

故
．……①；

由
，同理可证
．……②．

综合①②，得
． ………………………7分

（3）对
，令
（
），则

，

显然
，
，所以
，

所以
，
在
上单调递减．

由
，得
，即
．

所以
，
．…………………………9分

所以

．

又由（2）知
，所以
．

．

所以，
．……………………12分