商丘市2013—2014学年度第一学期期末考试参考答案

高三数学（文科）

一、选择题（每小题5分，共60分） D B A B A C D B A C C D

二、填空题（每小题5分，共20分）

（13）
（14）
（15）
（16）

三、解答题：

（17）解：（Ⅰ）当错误！未找到引用源。时，

. ………………………3分

又当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，满足上式，………………………………………………4分

∴错误！未找到引用源。. ………………………………………………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。. ……………………………………6分

又错误！未找到引用源。 ∴错误！未找到引用源。， ………………………………………7分

∴错误！未找到引用源。， 又错误！未找到引用源。 ，∴错误！未找到引用源。. ……………………………………………8分

∴错误！未找到引用源。. …………………………………………………………………………9分

∴错误！未找到引用源。.………………………………………10分

（18）解：（Ⅰ）∵
，且
，

∴
，即
.……………………………2分

由余弦定理得：
.……………………………………………4分

又 ∵
， ∴
.……………………………………………………………6分

（Ⅱ）∵
，
，由正弦定理得：
，

∴
， ∴
.………………………………………………………8分

∵
， ∴
， ∴
.

∴
.………………………………………………10分

∴
.……………………………………………………12分

（19）解：（Ⅰ）由茎叶图知，分数在
的频数为，频率为
.………………2分

全班人数为
， ∴ 本次测试成绩的中位数为
. …………………………3分

由茎叶图知，分数在
的频数为
.………………………4分

频率分布直方图中
的矩形的高为
.……………………………6分

（Ⅱ）将
之间的份试卷记为，
，，
，
之间的份试卷记为，．

在
之间任取两份试卷的基本事件为（，
），（，），（，
），（，），（，），（
，），（
，
），（
，），（
，），（，
），（，），（，），（
，），（
，），（，）共15个.………………………………………………10分

其中至少有一个在
之间的基本事件有9个，…………………………………11分

至少有一份分数在
之间的概率为
. ………………………………12分

（20）解：(Ⅰ) 证明：∵菱形
的边长为
，
，

∴
，且
，
，

∴
.

又∵
， ∴
，

∴
，即
.………………………………………………4分

又
，且
，

∴
平面
.

∵
平面
，∴平面
平面
. ……………………………8分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，
平面
，

.………………………………10分

∴
.…………………………12分

（21）解：（Ⅰ）由离心率
，得
.

∵
，∴
. …………………………………………………………2分

又因为
，所以
.

即椭圆的标准方程为
.………………………………………………………4分

(Ⅱ) 联立
，消去得：
. …………6分

由
，得
. ……………………7分

设
，
，则
，
，………………8分

由题意，得
，即
，

∴
，

即
，…………………………………………10分

∴
.

解之，得
，满足
，∴
.………………………………12分

（22）解：（Ⅰ）
（
），

∵
在
上单调递增，

∴
在
上恒成立. ………………………………………2分

∵
（当且仅当
时，取“”），

即
，

从而有
，得
，

即实数
的取值范围是
. ……………………………………………4分

(Ⅱ) 设
（
），切线
，
的倾斜角分别为，
，斜率分别为
，
.

则
，
.………………………………6分

由切线
，
与轴围成一个等腰三角形，且

均为正数知，

该三角形为钝角三角形，有
，或
.………………………………………8分

∴
，或
，即
，或
.

∵
，∴
，或
.…………………………………………………10分

从而
，或
.

∴
，代入
得
，

或
，代入
得
.…………………………………12分