商丘市2013—2014学年度第一学期期末考试参考答案

高三数学（理科）

一、选择题（每小题5分，共60分）

A B C D D B A D C B A C

二、填空题（每小题5分，共20分）

（13）
（14）
（15）
（16）② ④

三、解答题

（17）解:(I)∵
成等差数列,

∴
，∴
， ……………………3分

由
, 而
得

∴
，∴
. ……………………6分

(II)由
,
,
,得
, ……………………8分

又由
，得
， ……………………10分

所以△ABC的面积
. ……………………12分

（18）解：(Ⅰ)依题意得，
，即
，

当
时，

，………3分

当
时，
，

∴
． ………………………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得

， ………8分

故

.

……………………10分

因此，使得
成立的必须且仅需满足
，

即
，故满足要求的最小正整数为10. ……………………12分

（19）解：证明：(Ⅰ)
，
，

建立如图所示的空间直角坐标系
，

则
.……………………2分

不妨令
，则
＝
，
＝
.

∴
·
＝
，即
. ……………………4分

（Ⅱ）存在，设平面PFD的法向量为
，

由
得
令
，解得
.

设G点的坐标为
，则
＝
……………………6分

要使
，只需
， 即
，

得
，从而满足
的点G即为所求． ……………………8分

（Ⅲ）∵
，∴
是平面
的法向量，易得
．

又∵
，∴
是
与平面
所成的角，得
，则
， ……………………………………………………………………10分

平面
的法向量为
n，
＝
，

从而二面角A－PD－F的余弦值为
. ……………………12分

(20)解：（Ⅰ）
（
）.

∵
在
上单调递增，

∴
在
上恒成立.……………………………2分

∵
（当且仅当
时，取“”）.

即
，

从而有
，得
，

即实数
的取值范围是
. ……………………………………4分

(Ⅱ) 设
（
），切线
，
的倾斜角分别为，
，斜率分别为
，
,

则
，
, …………………6分

由切线
，
与轴围成一个等腰三角形，且

均为正数知，

该三角形为钝角三角形，有
，或
. ………………………8分

∴
，或
，即
，或

∵
，∴
，或
. ……………………………10分

从而
，或
.

∴
，代入
得
，

或
，代入
得
.………………………………12分

（21）解：（Ⅰ）
．

∴
，化简得
，

故椭圆E的离心率为
． ……………………………………………………4分

（Ⅱ）存在满足条件的常数
，
． ……………………5分

∵点
为线段
的中点，∴
，

左焦点
，椭圆E的方程为
． ……………………6分

设
，则直线
的方程为
，

代入椭圆方程
，整理得，
． ……………8分

∵
．

从而
，故点
．同理，点
．

……………………10分

∵三点
共线，∴
，从而
x1．

从而
．

故
，从而存在满足条件的常数

． ……………………12分

（22）解：(Ⅰ) 延长
交圆于点
，连结
，则
，

又
，
，所以
，

又
，可知
. ………………………………3分

所以根据切割线定理
，

即
. …………………………………………………………5分

(Ⅱ) 过作
于
，则
与
相似， ………………7分

从而有
，因此
. ……………………10分

（23）解：（Ⅰ）设点
的极坐标分别为
，

∵点
在曲线
上，

∴
，……………2分

则
=
，

,

所以
. …………………………………………5分

（Ⅱ）由曲线
的参数方程知曲线
为倾斜角为且过定点
的直线，

当
时，B，C点的极坐标分别为
，

化为直角坐标为
，
， ……………………………………7分

∵直线斜率为
，
， ∴
.

直线BC的普通方程为
， ∵过点
，

∴
，解得
. ……………………10分

（24）解：（Ⅰ）
时，

，……………2分

∴当
时，
不合题意；

当
时，
，解得
；

当
时,
符合题意.

综上,
的解集为
……………………5分

（Ⅱ）设
，
的图象和
的图象如右图： …………7分

易知
的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与
的图象始终有3个交点，

从而
. ………………10分