2013~2014学年度高三第一次大练习

数学试题参考答案(理科)

1．D　因为
UA＝{x|x≤1或x≥4}，所以(UA)∩B＝{1，4，5}．

2．B　依题意z＝＝＝－i，∴＝i.

3．C　圆心(0，0)到直线x－y＋1＝0的距离d＝.则r2＝(|AB|)2＋d2＝，r＝.

4．B　函数f(x)的定义域为x≠0，当x>0时，f(x)＝－ln x2＝－2ln x，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，又f(－x)＝－ln (－x)2＝－ln x2＝f(x)，所以f(x)为偶函数，因而f(x)在(－∞，0)上单调递增．

5．C　由题意可得n(12－n)＞0，∴0＜n＜12，∴a2＝n，b2＝12－n，c2＝a2＋b2＝12，∴双曲线的离心率e＝＝＝，∴n＝4.

6．B　设中间一组的频数为x，则其他8组的频数和为x，所以x＋x＝140，解得x＝40.

7．D　不等式组表示的区域如图阴影部分，由z＝x－y得y＝x－z，可知直线的截距最大时，z取得最小值，过点A（3，5）时，z取最小值－2.

8．A　∵在△ABC中，sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B＝sin[(A－B)＋B]＝sin A≥1，

又∵sin A≤1，∴sin A＝1，A＝90°，∴可得△ABC为直角三角形；但当△ABC为直角三角形时，A不一定为90°，∴选A.

9．C　由题意，令x＝0时，a0＝1；令x＝时，a0＋a1()＋a2()2＋…＋a2014()2014＝(1－2×)2014＝0，

∴＋＋…＋＝0－a0＝－1.

10．D　S＝0，i＝1→S＝1，i＝2→S＝－1，i＝3→S＝2，i＝4→S＝－2，i＝5→S＝3，i＝6→S＝

－3，i＝7→S＝4，i＝8→S＝－4，i＝9→S＝5，i＝10→S＝－5，i＝11.

11.A　设圆心为C，则C(0，4)，半径r＝1，设抛物线的焦点F(1，0)，由抛物线的定义知，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线距离之和为|PQ|＋|PF|≥|PC|－1＋|PF|＝|PC|＋|PF|－1≥|CF|－1＝－1.

12．B　令a＝b＝1，则可得f (1)＝0，令a＝3，b＝3n－1(n≥2)，则有f(3n)＝3f(3n－1)＋3n－1f(3)．又f(3)＝3，∴－＝1，即{an}是公差为1的等差数列，且可得f(3n)＝n·3n，∴数列{bn}是公比为3的等比数列，即C、D正确．又令a＝－11，b＝－1，可得f(－1)＝0，再令a＝x，b＝－1，可得

f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，∴A正确．

13.π　cos〈a，b〉＝＝＝－，即向量a、b的夹角为.

14．0.6　P(X＜4)＝0.8，则P(X＞4)＝0.2，又分布图象关于直线x＝2对称，

P(X＜0)＝P(X＞4)＝0.2，则P(0＜X＜4)＝0.6.

15．±　f(x)＝2sin x－cos x＝3sin(x－φ)(sin φ＝，cos φ＝)，因为x＝θ为函数对称轴，所以θ－φ＝kπ＋，k∈Z，则θ＝kπ＋＋φ，所以sin θ＝sin(kπ＋＋φ)＝，所以sin θ＝±.

16．(－∞，－1]　由题意知f(x)min≥g(x)min，f′(x)＝－＝，当x∈(0，1)时f′(x)<0，当x∈(1，2]时f′(x)>0，所以f(x)在x＝1处取最小值1，当x>a时，g(x)＝x＋＝(x－a)＋＋a≥2＋a，所以1≥2＋a，a≤－1.

17．解：(Ⅰ)设∠ABC＝γ，由三角形ABC为直角三角形可得β＋γ＝.

又因为AB＝AD，所以∠ABC＝∠ADB，所以γ＝α＋β，代入β＋γ＝得α＋2β＝，

所以α＝－2β，所以sin α＝cos 2β.（6分）

(Ⅱ)在△ADC中，由正弦定理得＝，

代入AC＝DC得＝，整理得sin(α＋β)＝sin α，

又因为α＋2β＝，所以可得α＋β＝－β，所以sin(α＋β)＝sin(－β)＝cos β＝sin α.

由(1)得sin α＝cos 2β， cos β＝cos 2β，根据二倍角公式可得cos β＝或－(舍去)，

∵0＜β＜，∴cos β＝?β＝.（12分）

18．解：(Ⅰ)当n＝1时，得λa＝2S1＝2a1，a1(λa1－2)＝0，∵a1≠0，∴a1＝，

当n≥2时，2an＝＋Sn，2an－1＝＋Sn－1，两式相减得an＝2an－1，所以数列是等比数列，通项公式为an＝a1qn－1＝.(6分)

(Ⅱ)当λ＝1000时，令bn＝lg，所以bn＝3－nlg 2，所以数列是递减的等差数列，公差为－lg 2.

则b1>b2>…>b9＝lg＝lg>lg 1＝0.

当n≥10时，bn≤b10＝lg＝lg

故数列{lg}的前9项和最大．(12分)

19．解：(Ⅰ)2013年该居民区PM2.5年平均浓度为

7.5×0.1＋22.5×0.2＋37.5×0.3＋52.5×0.2＋67.5×0.1＋82.5×0.1＝42(微克/立方米)．

因为42＞35，所以2013年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进.(6分)

(Ⅱ)记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则P(A)＝.

随机变量X的可能取值为0，1，2，3，且X～B(3，)，

所以P(X＝k)＝C ()k(1－)3－k(k＝0，1，2，3)，

所以变量X的分布列为

X

0

1

2

3



P











E(X)＝0×
＋1×
＋2×
+3×
＝2.7(天)或E(X)＝np＝3×＝2.7(天).(12分)

20．解：(Ⅰ)由（2分）

得所以椭圆方程为＋y2＝1.（4分）

(Ⅱ)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，设直线PQ的方程为x＝my＋t，代入＋y2＝1得(m2＋4)y2＋2mty＋t2－4＝0，（5分）

Δ＞0，

k1＝，k2＝，由＝7得＝7，

所以＝49，所以＝49，（7分）

得＝49，得12x1x2＋25(x1＋x2)＋48＝0，　①

x1x2＝(my1＋t)(my2＋t)＝，

x1＋x2＝(my1＋t)＋(my2＋t)＝，

代入①得6t2＋25t＋24＝0，得t＝－，或t＝－(是增根，舍去)，（9分）

所以（10分）

所以|y1－y2|2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝＝－36()2＋16×＝－36(－)2＋≤，当m2＝时取最大值.

所以S1－S2＝×3×|y1－y2|≤2，所以S1－S2的最大值为2.（12分）

21．解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝－ax＋1－a＝－，

当a≤0时，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

当a>0时，则由f′(x)＝0得x＝，且当x∈(0，)时，f′(x)>0；当x∈(，＋∞)时，f′(x)<0.

所以在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减．(4分)

(Ⅱ)设函数g(x)＝f(＋x)－f(－x)，则g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax.

g′(x)＝＋－2a＝.当00，而g(0)＝0，

所以g(x)>0.故当0

(Ⅲ)由(Ⅰ)知a≤0时，函数y＝f(x)的图象与x轴最多有一个交点．故a>0，从而f(x)最大值为f()，且f()>0.不妨设A(x1，0)，B(x2，0)，0

则0f(x1)＝0，从而x2>－x1，于是x0＝>，由(1)知f′(x0)<0.(12分)

22．证明：(Ⅰ)连结DE，

∵ACED为圆的内接四边形，∴∠BDE＝∠BCA，又∠DBE＝∠CBA，∴△BDE∽△BCA，即＝，而AB＝2AC，∴BE＝2DE.

又CD是∠ACB的平分线，∴AD＝DE，从而BE＝2AD.(5分)

(Ⅱ)由条件得AB＝2AC＝2，设AD＝t.

根据割线定理得BD·BA＝BE·BC，即(AB－AD)·BA＝2AD·2，∴(2－t)·2＝2t·2，解得t＝，即AD＝.(10分)

23．解：(Ⅰ)曲线M可化为y＝x2－1，x∈[－，]，

曲线N可化为x＋y＝t，

若曲线M，N只有一个公共点，

则当直线N过点(，1)时满足要求，此时t＝＋1，

并且向左下方平行运动直到过点(－，1)之前总是保持只有一个公共点，

当直线N过点(－，1)时，此时t＝－＋1，

所以－＋1

再接着从过点(－，1)开始向左下方平行运动直到相切之前总有两个公共点，相切时仍然只有一个公共点，

联立得x2＋x－1－t＝0，

Δ＝1＋4(1＋t)＝0，解得t＝－，

综上可求得t的取值范围是－＋1

(Ⅱ)当t＝－2时，直线N：x＋y＝－2.

设M上的点为(x0，x－1)，|x0|≤，

则曲线M上的点到直线N的距离为d＝＝≥，当x0＝－时取等号，满足|x0|≤，所以所求的最小距离为.(10分)

24．解：(Ⅰ)原不等式等价于或或解得x≤－或 x∈?或 x≥，

∴不等式的解集为{x|x≤－或x≥}.(5分)

(Ⅱ)依题意得：关于x的不等式|x－1|＋|x＋1|≥a2－a在R上恒成立，

∵|x－1|＋|x＋1|≥|(x－1)－(x＋1)|＝2，

∴a2－a≤2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，

∴实数a的取值范围是－1≤a≤2.(10分)