上饶市2014届第一次高考模拟考试

数学（理科）试题卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷l至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．

第Ⅰ卷

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的学校、准考证号、姓名填写在答题卡上．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．

3．考试结束，监考员将试题卷、答题卷一并收回．

一．选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，每题只有一个正确答案)

1．计算：
（ ）

A．2 B．
C．
D．

2．已知集合
,则
等于（ ）

A．

B．

C．
D．

3. 数列
的前n项和
的通项公式为（ ）

A．
B．
C．
D．

4．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．设
,且
,则 （ ）

A．
B．
C .
D．

6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为（ ）

A . 6 B. 5 C . 8 D. 7

7．已知
之间满足关系：
，其中
取得最小值时，
的大小为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．定义在R上的函数f(x)满足f(4)＝1，f′(x)为函数f(x)的导函数．已知函数y＝f′(x)的图象如图所示，两个正数a、b满足f(2a＋b)<1，则
的取值范围是（ ）

A . (
，
) B. (
，3) C . (－∞，
)∪(3，＋∞) D. (－∞，－3)

9. 平面
外有两条直线
和
，如果
和
在平面
内的射影分别是
和
，给出下列四个命题：①
②
③
与
相交

与
相交或重合 ④
与
平行

与
平行或重合，其中不正确的命题的个数是（ ）

A.4个 B.3个 C .2个 D. 1

10．已知方程组
对此方程组的每一组正实数解
，其中
，都存在正实数
，且满足
，则
的最大值是 （ ）

A.
B.
C .
D.

第Ⅱ卷

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)

11. 二项式
的展开式中第四项的系数为 ．

12. 若正数
满足
，则
的最小值为 ．

13．有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有_____种．（用数字作答）

14．若
分别为双曲线
的下，上焦点，
为坐标原点，点
在双曲线的下支上，点
在上准线上，且满足
，则双曲线的离心率__________.

15. 选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分。

（1）（坐标系与参数方程选做题）直线
与圆
相交的弦长为 ．

（2）（不等式选讲题）

已知集合
则集合
=________.

三、解答题（本大题共6小题，共75分．其中第16—19小题每题12分, 第20题13分,第21题14分）.

16.（本题满分12分）在
中，角
所对的边分别为
，函数
在
处取得最大值。

（1）当
时，求函数
的值域；

（2）若
且
，求
的面积。

17. （本题满分12分）“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式过马路 ”的态度是否与性别有关,从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查,得到了如下列联表:

男性

女性

合计



反感

10







不反
感



8





合计





30



已知在
这30人中随机抽取1人抽
到反感“中国式过马路 ”的路人的概率是
.

(1)请将上面的列表补充完整(在答题卡上直接填写结果,不需要写求解过程),并据此资料分
析反感“中国式过马路 ”与性别是否有关?(

当
<2.706时,没有充分的证据判定变量性别有关,当

>2.706时,有90%的把握判定变量性别有关,当
>3.841时,有95%的把握判定变量性别有关,当

>6.635时,有99%的把握判定变
量性别有关)

(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动,记反感“中国式过马路”的人数为X,求X的分布列和数学期望.

18. （本题满分12分）已知等差数列
满足
的前
项和为
。

（1）求
及
；（2）令
，求数列
的前
项和
。

19.（本题满分12分）如图，在斜三棱柱
中，侧面
⊥底面
，侧棱
与底面
成60°的角，
．底面
是边长为2的正三角形，其重心为
点，
是线段
上一点，且
．

（1）求证：
//侧面
；

（2）求平面
与底面
所成锐二面角的正切值；

20如图，椭圆
：
（
）和圆
：
，已知圆
将椭圆
的长轴三等分，椭圆
右焦点到右准线的距离为
，椭圆
的下顶点为
，过坐标原点
且与坐标轴不重合的任意直线
与圆
相交于点
、
．

（1）求椭圆
的方程；（2）若直线
、
分别与椭圆
相交于另一个交点为点
、
.

①求证：直线
经过一定点；

②试问：是否存在以
为圆心，
为半径的圆
，使得直线
和直线
都与圆
相交？若存在，请求出所有
的值；若不存在，请说明理由。

21.已知函数
，其中
为实常数.

（1）若
在
上恒成立，求
的取值范围；

（2）已知
，
是函数
图象上两点，若在点
处的两条切线相互平行，求这两条切线间距离的最大值；

（3）设定义在区间
上的函数
在点
处的切线方程为
，当
时，若
在
上恒成立，则称点
为函数
的“好点”．试问函数
是否存在“好点”．若存在，请求出所有“好点”坐标，若不存在，请说明理由．

上饶市2014届第一次高考模拟考试数学（理科）

试卷答案及评分标准

一、选择题：共10小题，每小题5分，满分50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

B

A

C

C

D

C

B

A

C



二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．

11.-80 12.3 13. 50 14. 2 15. (1)
(2) [4,6]

三、解答题：共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.解：（1）
=2cosx(sinxcosA-cosxsinA)+sinA=2sinxcosxcosA-2
sinA+sinA

=sin2xcosA-cos2xsinA=sin(2x-A)-------------3分

-----------------6分

(2)由正弦定理
得

即
由余弦定理

--------------------------12分

17.解(1)

男性

女性

合计



反感

10

6

16



不反感

6

8

14



合计

16

14

30



由已知数据得:
, 所以,没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关. ----6分

(2)
的可能取值为

所以
的分布列为:

0

1

2














的数学期望为:
-------12分

18. 解：（1）设等差数列
的首项为
，公差为
，

由
，解得
．……3分

由于
，所以
．……5分

（2）因为
，所以
，因此
．

故
，

所以数列
的前n项和

．……12分

19. 解法1：（1）延长B1E交BC于点F，
∽△FEB，BE=
EC1，∴BF=
B1C1=
BC，

从而点F为BC的中点．

∵G为△ABC的重心，∴A、G、F三点共线．且
，

又GE
侧面AA1B1B，∴GE//侧面AA1B1B． ----------------------------5分

（2）在侧面AA1B1B内，过B1作B1H⊥AB，垂足为H，∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，

∴B1H⊥底面ABC．又侧棱AA1与底面ABC成60°的角，AA1=2，∴∠B1BH=60°，BH=1，B1H=

在底面ABC内，过H作HT⊥AF，垂足为T，连B1T，由三垂线定理有B1T⊥AF，

又平面B1CE与底面ABC的交线为AF，∴∠B1TH为所求二面角的平面角．

∴AH=AB+BH=3，∠HAT=30°，∴HT=AH
．在Rt△B1HT中，
，

从而平面B1GE与底面ABC成锐二面角的正切值为
． -------------------------12分

解法2：（1）∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60°的角，∴∠A1AB=60°，

又AA1=AB=2，取AB的中点O，则AO⊥底面ABC．

以O为原点建立空间直角坐标系O—
如图，

则
，
，
，
，
，
．

∵G为△ABC的重心，∴
．
，∴
，

∴
． 又GE
侧面AA1B1B，∴GE//侧面AA1B1B． -----5分

（2）设平面B1GE的法向量为
，则由
得

可取
又底面ABC的一个法向量为

设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为
，则
．

由于
为锐角，所以
，进而
．

故平面B1GE与底面ABC成锐二面角的正切值为
．---------------12分

20. 解：（1）依题意，
，则
，∴
，又
，∴
，则
，∴椭圆方程为
． 4分

（2）①由题意知直线
的斜率存在且不为0，设直线
的斜率为
，则
：
，

由
得
或
∴
， 5分

用
去代
，得
，
，

∴直线
的方程：
，即
，

∴直线
经过定点
．综上所述，直线
经过定点
． 9分

②由
得
或
∴
，

则直线
：
，设
，则
，直线
：
，直线
：
，

假设存在圆心为
，半径为
的圆
，使得直线
和直线
都与圆
相交，

则
由（
）得
对
恒成立，则
，

由（
）得，
对
恒成立，

当
时，不合题意；当
时，
，得
，即
，∴存在圆心为
，半径为
的圆
，使得直线
和直线
都与圆
相交，所有
的取值集合为
13分

21. 解：（1）
在
上恒成立等价于
，

令

因为
，所以
，故
所以
.-----------4分

（2）
设
，
，过点
的两切线互相平行，

则
，所以
（舍去），或
，

过点
的切线
：
，即
，

过点
的切线
：

两平行线间的距离是

，

因为
，所以

即两平行切线间的最大距离是
． 8分

（3）
，设
存在“好点”
，由
，得
，依题意
对任意
恒成立，因为

，

所以
对任意
恒成立，

①若
，
不可能对任意
恒成立，

即
时，不存在“好点”；

②若
，因为当
时，
，

要使
对任意
恒成立，必须

，所以
，综上可得，当
时，不存在“好点”；当
时，存在惟一“好点”为
．------- 14分