2014届中山市华侨中学高三三模考试试卷

数学（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合
，
,
则
（　　）

A.
B.
C.
D.

2. 复数z=
在复平面内对应的点位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3. 设
,
,
,则（　　）

A．
B．
C．
D．

4. 已知变量
满足约束条件
，则
的最大值是（　　）

A．
B．
C．1 D．

5. 在
中，角
的对边分别为
，则

“
”是 “
是等腰三角形”的（　　）

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

6.若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1) B．[－2,2] C．(－2,2) D．(1，＋∞)

7. 设等比数列
的各项均为正数，公比为，前项和为
．若对
，有
，则的取值范围是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

8. 如图，直角梯形ABCD中，AD⊥AB, AB//DC , AB=4,AD=DC=2,

设点N是DC边的中点，点
是梯形
内或边界上的一个动点，

则
的最大值是( )

（A）4 （B） 6 （C） 8 （D）10

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

(一）必做题（9-13题）

9. 已知
若平面上的三点
共线,则

10.
，
展开式中含
项的系数是

（用数字作答）

11.
有三个不同的零点，则实数的取值范围是 .

12. 数列
的前项和为
，
＝13且
求数列的通项
___________.

13. 已知正数
满足
,
,则的取值范围是______ .

选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）

14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系
中，曲线
和
的参数方程分别为
（
为参数，
）和
（为参数），则曲线
和
的交点坐标为 .

15.（几何证明选讲选做题）如下图右，已知
和
是圆的两条弦，过点作圆的切线与
的延长线相交于.过点
作
的平行线与圆交于点,与
相交于点,
,
,
,则线段
的长为 .

解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16.(本小题满分12分)

已知向量
．

（Ⅰ）若
，求
；

（Ⅱ）求
的最大值

17.（本小题满分13分）

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 (单位：千克)与销售价格 (单位：元/千克)满足关系式
，其中
，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

(Ⅰ) 求的值；

(Ⅱ) 若该商品的成本为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

18.（本小题满分13分）

已知△
中，角，，
的对边分别为，
，，且
，
．（Ⅰ）
，求； （Ⅱ）若
，求△
的面积．

19.（本题满分14分）

设数列
的前项和为
，且

.

（Ⅰ）求
，
，
；

（Ⅱ）求证：数列
是等比数列；

（Ⅲ）求数列
的前项和
。

20.(本小题满分14分)

已知函数
求:

(1)当曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线：y=-2x+1平行时，求a的值；

（2）求函数f（x）的单调区间

21.(本小题满分14分)

已知正项数列
的前项和为
，且函数
在
处的

切线的斜率为

.

(1) 求数列
的通项公式；

(2) 求证：
；

(3) 是否存在非零整数
，使不等式

对一切
都成立？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由。

三模参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

A

D

B

A

C

A

B



阅卷人：张立平：9.
10.
11.

12.
13.
二选一 14. (2,1) 15.

阅卷人：张国强16.解：（Ⅰ）若
，则
，由此得：
，所以，
．(6分) （Ⅱ）由
得：
（8分）
（9分）

当
时，
取得最大值，即当
时
的最大值为
（12分）

阅卷人：祝彬17.解：(Ⅰ)
时
，
；（4分）

(Ⅱ)由(Ⅰ)知该商品每日的销售量
，所以商场每日销售该商品所获得的利润：
，（8分）

， （10分）

令
得
函数
在
上递增，在
上递减，所以当
时函数
取得最大值

答：当销售价格
时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42. （13分）

阅卷人：龚瀚慧 18. 解：（Ⅰ）由已知
， 整理得
． …2分

因为
，所以
. 故
，解得
.…4分

由
，且
，得
. 由
，即
，

解得
. ………7分 （Ⅱ）因为
，又
，

所以
，解得
. ……10分

由此得
，故△
为直角三角形，
，
． 其面积
．……13分

阅卷人：孔凡平19.解（I）由题意，当
时，得
，解得
.

当
时，得
，解得
. 当
时，得
，解得
.

所以
，
，
为所求.…3分

(Ⅱ) 因为
，所以有
成立.两式相减得：
.

即
. ……6分 所以数列
是以
为首项，公比为的等比数列. …8分

（Ⅲ）由(Ⅱ) 得：
即

.则

.……10分

设数列
的前项和为
,

则
，

即

. …12分

数列
的前项和
=
，

. …14分

阅卷人：马颖20.解：
x>-1 …3分（1） a=3 …6分

（2）当a=0.5 时，函数f（x）的单调递减区间是（-1，+∞） …8分

当0.5< a<1，函数f（x）的单调递减区间是（-1,1/a -2）和（0，+∞）单调递增区间(1/a -2,0)…11分

当 a>=1，函数f（x）的单调递增区间是（-1,0），单调递减区间是（0，+∞）…14分

阅卷人：彭海峰21. 解：(1)
，依题意，
，即
.

当
时，
，解得
或
（舍去）.

当
时，由

，

∵
，∴
，则
，∴
是首项为2，公差为2的等差数列，故
. …4分

(2) 证法一：∵

，

∴当
时，

.当
时，不等式左边
显然成立. ….8分

证法二：∵
，∴
.

∴

.

∴当
时，

.

当
时，不等式左边
显然成立. (3) 由
，得
，

设
，则不等式等价于
.

，

∵
，∴
，数列
单调递增. ….11分

假设存在这样的实数
，使得不等式
对一切
都成立，则

① 当为奇数时，得
；

② 当为偶数时，得
，即
.

综上，
，由
是非零整数，知存在
满足条件． ….14分