惠州市2014届高三第三次调研考试

数学试题（文科）

（本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟）

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.

1.已知集合
则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

2.若
是实数，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

3.已知
，若
∥
，则的值为（ ）

A．1 B．－1 C．2 D．－2

4. 已知函数
，则
是
的（ ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要

5. 若直线
与圆
相切，则
（ ）

A．1 B．－1 C．
D．1或－1

6.某学校高一、高二、高三年级学生分别有2500人、1500人、1000人，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取30人作为学生代表，其中从高二年级学生中应抽取（ ）人

A． 15 B．10 C．9 D．6

7. 各项为正的等比数列
中，
，则
=（ ）

A．4 B．2

C．1 D．8

8.执行如图所示程序框图，最后输出的
值是（ ）

A．15 B．18

C．20 D．27

9. 已知函数

则
（ ）

A．
B．

C．
D．

10. 已知函数
则对于任意实数
,
的值（ ）

A．恒为正 B．恒等于
C．恒为负 D．不确定

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．

（一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．

11．如图，正三棱柱
的底面边长为，当正视图的视线方向垂直于平面
时，正视图的面积为
,则此时左视图的面积为________.

12. 在
中，角
的对边分别为
，
，则
.

13. 设点
满足
，则
的最大值为 .

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

14.（坐标系与参数方程选做题）曲线
的极坐标方程为
，直线的参数方程为
，则直线被曲线
截得的弦
的长为 ．

15.(几何证明选讲选做题) 如图，
,

是圆的切线，切点为，割线
过圆心，若

，则
的长为 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16.（本小题满分12分）

已知函数
的周期是.

（1）求和
的值；

（2）求函数
的最大值及相应的集合．

组别

达标

不达标

总计



甲班



8





乙班

54







合计





120



17.（本小题满分12分）

某学校甲、乙两个班参加体育达标测试，统计

测试成绩达标人数情况得到如图所示的列联表，已知

在全部学生中随机抽取1人为不达标的概率为
.

（1）请完成上面的列联表；

（2）若用分层抽样的方法在所有测试不达标的学生中随机抽取6人，问其中从甲、乙两个班分别抽取多少人？

（3）从（2）中的6人中随机抽取2人，求抽到的两人恰好都来自甲班的概率．

18.（本小题满分14分）

如图所示，
是正方形，
，

是
的中点

（1）求证：
；

（2）若
，求三棱锥
的体积．

19．（本小题满分14分）

已知数列
的前项和为
，且有
；数列
满足

（1）求数列
和
的通项公式；

（2）设数列
的前项和为
，求证：
．

20．（本小题满分14分）

已知焦点在轴上的抛物线过点
．

（1）求抛物线的方程；

（2）过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于
两点，点M在线段
上运动，原点O关于点M的对称点为D,求四边形
的面积的最小值．

21．(本小题满分14分）

已知函数

（1）求函数
的最小值；

（2）若对一切
，都有
恒成立，求实数的取值范围；

（3）试判断函数
是否有零点？若有，求出零点的个数；若无，请说明理由．

惠州市2014届高三第三次调研考试试题

数 学（文科）答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

A

B

B

D

C

A

C

D

A



【解析】

1.
，选B.

2. ∵
是实数，∴
,则
，选A.

3. ∵
∥
，∴
，解得
，选B.

4. 当
时，
，或
,故不是充分条件；反之成立，选B.

5.由圆心
到直线的距离等于半径得
，解得
,故选D.

6.抽样比为
，则从高二年级学生中应抽取
人，选C.

7.
，又
，故
，选A.

8.
，故选C.

9.
，故选D.

10．可知函数
，所以函数为奇函数,同时，

=
，是增函数，注意到
，

所以
，选A.

二、填空题

11.
12.
13.10 14.
15.

【解析】

11.设此正三棱柱的高为
，则其主视图面积为
，所以
，左视图是边长分别为
，
的矩形，所以面积为
.

12. 由正弦定理，
，解得

13.不等式组表示的可行域如图所示，直线
过直线
和

直线
交点
时，有最大值10.

14. 曲线C的直角坐标方程为
，直线的直角坐标方程为
， 圆心到直线的距离为
，故弦长
.

15.设圆的半径为，由
得
，

解得
；依题意知
,

故
，解得
.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16.解：（1）∵函数
的周期是且

，解得
… ……………………………………………………2分

∴
…………………………3分

∴
………………………………………5分

（2）
……………6分

…………………8分

当
即
时，
取最大值
…………………10分

此时的集合为
……………………………………12分

组别

达标

不达标

总计



甲班

54

8

62



乙班

54

4

58



 合计

108

12

120



 17.解：（1）

……………………3分

（2）由表可知：用分层抽样的方法从甲班抽取的人数为
人，……………4分

从乙班抽取的人数为
人……………………………………………5分

（3）设从甲班抽取的人为
，从乙班抽取的人为1，2；

“抽到的两个人恰好都来自甲班”为事件.………………………………………6分

所得基本事件共有15种，即：

……………………………8分

其中事件包含基本事件
，共6种，……………………10分

由古典概型可得
……………………………………………………12分

18.解：（1）连接
，

∵
是正方形，是
的中点，

∴
……………………………………1分

又∵
分别是
的中点

∴
∥
……………………………………2分

又∵
， ∴
，……3分

∵
, ∴
…………………4分

又∵
∴
…………5分

又∵

故
…………………………………………………7分

（2）∵
，∴是
三棱锥
的高，

∵
是正方形，是
的中点，∴
是等腰直角三角形………9分

，故
,
………………………12分

故
………………………14分

19.解：（1）∵

时，
………………………1分

时，
，
………………………2分

两式相减得：

，
，………3分

是以
为首项，
为公比的等比数列
……………………4分

∴
………………………………………5分

……①

②………………………………7分

①-②得：
……………8分

…………9分

…………………10分

………………11分

∴当
时，
，
，即

当
时，
,此时
，

………………………………12分

又当
时，
，此时

而
，
………………………13分

∴
………………………………………14分

20．（1）解：依题意设抛物线C的方程为：
，…………………1分

∵点
在抛物线上，∴

解得
，． ………………………………3分

∴抛物线C的方程为
． ………………………4分

（2）证明：由（1）知
，则可设直线
的方程为：
………………5分

由
消去得：
则

设
，则
………………………7分

………9分

∵点M在线段