肇庆市中小学教学质量评估

2013—2014学年第一学期统一检测题

高三数学（文科）

注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的所在县（市、区）、

姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B铅笔将准考证号涂黑.

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

参考公式：锥体的体积公式
其中S为锥体的底面积，
为锥体的高

台体的体积公式
,其中
分别是台体的上、下底面积,
表示台体的高.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合
，集合
大于
且小于5的整数}，则
( )

A.
B.
C.
D.

2．函数
的定义域是（ ）

A.
B.
C.
D.

3．若
（为虚数单位）则复数的共轭复数

A．
B.
C.
D.

4.已知平面向量
,
, 且
, 则向量
是( )

A．
B．
C．
D．

5．已知变量
满足约束条件
，则
的最大值是( )

A. B.
C.
D.

6．执行如图1所示的程序框图．若
，则输出的值是（　　）

A．
B.
C．
D．

7．在
中，
分别是角
的对边长.已知
,则
（ )

A.
B.
C.
D.

8．已知圆
和圆
关于直线
对称，则直线
的方程是（ ）

A．
B.
C.
D.

9．某圆台的三视图如图2所示(单位：cm)，则该圆台的体积是

A.

B.

C.

D.

10．已知集合
,若对于任意
,存在
,使得
成立,则称集合
是“好集合”.给出下列4个集合:

①
②

③
④

其中所有“好集合”的序号是（ ）

A．①②④ B．②③ C．③④ D．①③④

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.

（一）必做题（11～13题）

11．设
为等差数列
的前n项和，
，则

12．若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则
______.

13．已知直线
过椭圆
的左焦点
和一个顶点B.则该椭圆的离心率

（ ） ▲

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点
，则过点且平行于极轴的直线的极坐标方程为

15.（几何证明选讲选做题）如图3，过
外一点分别作切线
和割线
，
为切点，
为割线与
的交点，过点作
的切线交
于点. 若
，
，则
.

三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.（本小题满分12分）

已知函数
的最小正周期为
．

(1) 求
的值；(2) 若
，求
．

17.（本小题满分12分）

从一批柚子中，随机抽取100个，获得其重量（单位：克）数据按照区间
，
，
，
进行分组，得到频率分布直方图,如图4.

(1) 根据频率分布直方图计算抽取的100个柚子的重量众数的估计值.

(2) 用分层抽样的方法从重量在
和
的柚子中共抽取5个，其中重量在
的有几个？

(3) 在（2）中抽出的5个柚子中，任取2个，求重量在
的柚子最多有1个的概率．

18. （本题满分14分）

如图，在三棱锥
中，底面
为等腰直角三角形，
，棱
垂直底面
，
，
，
，是
的中点.（1）证明
平面ABC；（2）证明：BC(平面PAC；（3）求四棱锥
的体积.

19.（本小题满分14分）

已知数列
满足
.（1）求数列
的通项公式；（2）设
为数列
的前项和，求
.（3）证明：

20. （本小题满分14分）

已知椭圆
的两个焦点分别为
,且
,点在椭圆上,且
的周长为6.过椭圆
的右焦点的动直线
与椭圆
相交于、两点.

(1)求椭圆
的方程;

(2)若线段
中点的横坐标为
,求直线
的方程;

(3) 若线段
的垂直平分线与轴相交于点.设弦
的中点为,试求
的取值范围.

21．（本小题满分14分）

已知函数
.（1）若
，求
在
上的最小值；

（2）若存在
，使
，求的取值范围．

肇庆市中小学教学质量评估

2013—2014学年第一学期统一检测题

高三数学（文科）参考答案

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

D

C

B

C

D

B

A

D

B



二、填空题：

11．
12.
13.
14.
15.

1【解析】
，
，所以

2【解析】 由
得
且

3【解析】

4【解析】 ∵
,∴
,∴

5【解析】 “角点”坐标分别为
，

6【解析】 第一次循环：
；第二次循环：
；

第三次循环：
； 第四次循环：
，结束；输出

7【解析】 ∵
，∴

∵
=
,∴sinB=
=
=
.

8【解析】方程
经配方，得
圆心坐标是
，半径长是2.圆
的圆心坐标是
，半径长是2.因为两圆关于直线
对称，所以直线
是线段OC的垂直平分线.线段OC的中点坐标是
，直线OC的斜率
,所以直线
的斜率
，方程是
，即
.

9【解析】 圆台上底面积为
，下底面积为
，

高为
，体积

10【解析】对于①
不成立，故选项A、D错；对于④，
，由
，

即
，
，不成立. 故选项C错；所以选B.

11【解析】设公差为d，则8a1＋28d＝4a1＋8d，即a1＝－5d，a7＝a1＋6d＝－5d＋6d＝d＝－2，所以a9＝a7＋2d＝－6.

12【解析】
，由
得

13【解析】由
得
,∴
=
,即
=
.

∴
=
,e=
=
.

14．【解析】先将极坐标化成直角坐标表示，
转化为点

，即
过点
且平行于轴的直线为
，再化为极坐标为

15【解析】由条件得
，所以
，又
，由切割线定理有
，故

三、解答题

16【解析】(1)由
，得
(2分)

∴
(3分)

∴
(5分)

（2）∵
，∴
， (7分)

∴

(9分)

(12分)

17【解析】（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于
（克） (2分)

（2）从图中可知，重量在
的柚子数

（个） (3分)

重量在
的柚子数

（个） (4分)

从符合条件的柚子中抽取5个，其中重量在
的个数为

（个） (6分)

（3）由（2）知，重量在
的柚子个数为3个，设为
，重量在
的柚子个数为2个，设为
，则所有基本事件有：
，

共10种 (9分)

其中重量在
的柚子最多有1个的事件有：
，

共7种 (11分)

所以，重量在
的柚子最多有1个的概率
. (12分)

18【解析】（1）证明：∵
，
，∴
，（1分）

∴
（2分）

又∵
平面ABC，
平面ABC；∴
平面ABC；（3分）

（2）证明：∵PA(平面ABC，BC(平面ABC，

∴BC(PA. （