试卷类型：A

广州市2014届高三年级调研测试

数 学（文 科） 2014．1

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．

5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

参考公式：

锥体体积公式
，其中
为锥体的底面积，
为锥体的高．

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．函数
的定义域是

A．
B．
C．
D．

2．命题“若
，则
”的逆否命题是

A．若
，则
B．若
，则

C．若
，则
D．若
，则

3．如图1是2013年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为

A． 85，84 B． 84，85

C． 86，84 D． 84，86

4．设
（是虚数单位），则复数
的虚部是

A．
B．
C． D．

5．若集合
满足
，
，则
不可能是

A．
B．
C．
D．

6．若实数，满足不等式组
则
的最大值为

A． B．
C．
D．

7．执行如图2的程序框图，如果输入的
的值是6，那么输出的的值是

A．15 B．105 C．120 D．720

8．某几何体的三视图（如图3所示）均为边长为2的等腰直角三角

形，则该几何体的表面积是

A．
B．

C．
D．

9．若点
和点
到直线
的距离依次为1和2，则这样的直线有

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

10．函数
在区间
内

A．没有零点 B．有且仅有1个零点

C．有且仅有2个零点 D．有且仅有3个零点

二．填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

（一）必做题（11～13题）

11．若向量
，
满足
，则
__________．

12．在等比数列
中，若
，则
．

13．在边长为2的正方形
内部任取一点
，则满足
的概率为_______．

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14．（几何证明选讲选做题）

如图4，
为⊙
的直径，
，弦
交
于点
．

若
，
，则
的长为 ．

15．（坐标系与参数方程选讲选做题）

若点
在曲线
（
为参数，
）上，则
的取值范围是 ．

三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

在△
中，角，，
所对的边分别为，
，，且
．

（1）求
的值；

（2）若
，
，求的值．

17．（本小题满分12分）

某单位
名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们

的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组

，第2组
，第3组
，第4组

，第5组
，得到的频率分布直方图

如图5所示．下表是年龄的频率分布表．

区间













人数













（1）求正整数，
，
的值；

（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？

（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．

18．（本小题满分14分）

如图6，在三棱锥
中，
，
，

为
的中点，为
的中点，且△
为正三角形．

（1）求证：
平面
；

（2）若
，
，求点到平面
的距离．

19．（本小题共14分）

设数列
满足
，
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，求数列
的前项和
．

20．（本小题满分14分）

在圆
上任取一点，设点在轴上的正投影为点．当点在圆上运动时，动点
满足
，动点
形成的轨迹为曲线
．

（1）求曲线
的方程；

（2）已知点
，若
是曲线
上的两个动点，且满足
，求
的取值范围．

21．（本小题满分14分）

已知函数
．

（1）若
在
处取得极值，求实数的值；

（2）求函数
在区间
上的最大值．

广州市2014届高三年级调研测试

数学（文科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一．选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

D

A

D

C

D

B

A

C

B





二．填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．

11．
12．3 13．
14．1 15．

三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

解：（1）在△
中，
．………………………………………………………………1分

所以
…………………………………………………………………………2分

．………………………………………………………………………3分

所以
……………………………………………………………………………5分

．………………………………………………………………………………………7分

（2）因为
，
，
，

由余弦定理
，………………………………………………………………9分

得
．……………………………………………………………………………………11分

解得
．……………………………………………………………………………………………12分

17．（本小题满分12分）

解：（1）由频率分布直方图可知，
与
两组的人数相同，

所以
人．………………………………………………………………………………………1分

且
人．……………………………………………………………………………2分

总人数
人．………………………………………………………………………3分

（2）因为第1，2，3组共有25+25+100=150人，利用分层抽样在150名员工中抽取
人，每组抽取的人数分别为：

第1组的人数为
，…………………………………………………………………………4分

第2组的人数为
，…………………………………………………………………………5分

第3组的人数为
，………………………………………………………………………6分

所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．……………………………………………………7分

（3）由（2）可设第1组的1人为，第2组的1人为，第3组的4人分别为
，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共有
种．……………………………9分

其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：

，
，
，
，
，
，
，
，共有8种．

………………………………………………………11分

所以恰有1人年龄在第3组的概率为
．…………………………………………………………12分

18．（本小题满分14分）

（1）证明：在正
中，是
的中点，所以
．……………………………………1分

因为
是
的中点，是
的中点，所以
，故
．……………………2分

又
，
，
平面
，

所以
平面
．…………………………………4分

因为
平面
，所以
．……………5分

又
平面
，

所以
平面
．………………………………7分

（2）解法1：设点到平面
的距离为
，………8分

因为
，
是
的中点，所以
．

因为
为正三角形，所以
．……………………………………………………9分

因为
，所以
．

所以
．…………………………………10分

因为
，

由（1）知
，所以
．

在
中，
，

所以
．…………………………………………11分

因为
，……………………………………………………………………………12分

所以
，

即
．……………………………………………………………………13分

所以
．

故点到平面
的距离为
．………………………………………………………………14分

解法2：过点作直线
的垂线，交
的延长线于点
，…………………………………………8分

由（1）知，
平面
，
，

所以
平面
．

因为
平面
，所以
．

因为