肇庆市中小学教学质量评估

2013—2014学年第一学期统一检测题

高三数学（理科）

注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的所在县（市、区）、

姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B铅笔将准考证号涂黑.

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

参考公式：1、锥体的体积公式
，其中S为锥体的底面积，
为锥体的高。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合
，集合
，则
( )

A.
B.
C.
D.

2．设复数
（是虚数单位），则复数的共轭复数

A．
B.
C.
D.

3．下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是（　　）

A.
B.
C.
D.

4．已知实数
满足
则
的最大值是( )．

A.
B.
C. D.

5．执行如图1所示的程序框图,输出的值为（ ）

A．
B． C．
D．

6．某几何体的三视图如图2所示(单位：cm), 则其体积和表面积分别是（ ）

A.

和

B.

和

C.

和

D.

和

7．平面内有4个红点,6个蓝点,其中只有一个红点和两个蓝点共线,其余任三点不共线,过这十个点中的任两点所确定的直线中,至少过一红点的直线的条数是( )

A.28 B.29 C.30 D.27

8．已知集合
，若从集合
中任取
个数，其所有可能的
个数的乘积的和为
（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记
．例如当
时，
，
；当
时，
，
.则
（ ）．

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.

（一）必做题（9～13题）

9．函数
的定义域为

10．若等比数列
满足
，则

11．在
的展开式中常数项是____________.（用数字作答）

12．曲线
的切线中,斜率最小的切线方程为___________.

13．在平面直角坐标系
中，已知点A是半圆

上的一个动点，点C在线段OA的延长线上．当
时，则点C的纵坐标的取值范围是 ．

（ ） ▲

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线
与
的交点的极坐标为 .

15.（几何证明选讲选做题）如图3，在
中，
，
于点,以
为直径的圆与
交于点，若
，
，则

三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.（本小题满分12分）

已知函数
,
的最大值为.

(1) 求
的值； (2) 若
,
,求
．

17.（本小题满分12分）

一次考试中，5名同学的语文、英语成绩如下表所示：

学生













语文（分）

87

90

91

92

95



英语（分）

86

89

89

92

94



根据表中数据，求英语分对语文分的线性回归方程；

要从4名语文成绩在90分（含90分）以上的同学中选出2名参加一项活动，以
表示选中的同学的英语成绩高于90分的人数，求随机变量
的分布列及数学期望

（附:线性回归方程
中，
其中
为样本平均值，
的值的结果保留二位小数.）

18. （本题满分14分）

如图4，在四棱锥
，
平面
，
，四边形
是直角梯形中，
．

（1）求证:
平面
；（2）求二面角
的余弦值．

19.（本小题满分14分）

已知数列
满足
,
,

（1）求数列
的通项公式；（2）设
，数列
的前项和为
，求
.

(3)证明：
.

20. （本小题满分14分）

已知椭圆
的离心率为
,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
，过椭圆
的右焦点的动直线
与椭圆
相交于、两点.

(1)求椭圆
的方程;

(2)若线段
中点的横坐标为
,求直线
的方程;

(3) 若线段
的垂直平分线与轴相交于点.设弦
的中点为,试求
的取值范围.

21．（本小题满分14分）

已知函数
(其中常数
).

(1) 当
时，求
的单调区间；

(2) 若
在
处取得极值，且在
上的最大值为，求的值.

肇庆市中小学教学质量评估

2012—2013学年第一学期统一检测题

高三数学（理科）参考答案

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

C

B

D

D

A

B

D



二、填空题：

9．
10. 8 11. 45 12.
13.

14.
15.

1【解析】
，
,

2【解析】
,
.

3【解析】
,

4【解析】画图可知，四个角点分别是
，可知

5【解析】
，

，结束。

6【解析】几何体是个“半”圆锥，其体积为

表面积为

7【解析】(1)红点连蓝点有
=23条;(2)红点连红点有
=6条,所以共有29条.

8【解析】当
时，
，
，
，所以
。由于
，
，所以猜想
.

9【解析】由
得
或
，故填

10【解析】由

11【解析】
的通项为Tr+1=
，令40-5r=0,解得r=8，代入得常数项为
=45.

12【解析】
.当
时,
,当
时,
.

∴切线方程为
,即
.

13【解析】如图，半圆

即

，

设点
，由于
与
的方向相同，故
=λ
，且 λ＞0，

当点A在点M（2，2）时，
=2a+2b=20，且a=b，解得b=5．

当点A在点N（2，﹣2）时，
=2a+（﹣2b）=20，且a=﹣b，解得b=﹣5．

综上可得，则点C的纵坐标的取值范围是
.

14【解析】将
代入
得
，又
在两曲线上，所以交点的极坐标

为

15【解析】在
中，有
，由切割线定理有
，所以
，可得

三、解答题:

16【解析】∵函数
的最大值为,∴

(2分)

(1)
(4分)

（2）∵
,
，∴
(6分)

(7分)

(8分)

∴

(10分)

(12分)

17【解析】(1)
（1分）

（2分）

故回归直线方程为
(6分)

(2)随机变量
的可能取值为0,1,2.

（7分）
（8分）

（9分）

故
的分布列为

0

1

2














（12分）

18（1）证明：∵
平面
， ∴
．（1分）

又∵
，∴
（2分）

过C作
，交AD于E，则
（3分）

∴
，（4分）

在
中，
，∴
．（5分）

又∵
，∴
平面
．（6分）

（2）（方法一）∵
，∴
平面
．（7分）

过作
于，连结
，可知
． （8分）

∴
是二面角
的平面角． （9分）

设
，则
，
．

∽
，
，
． （11分）