试卷类型：A

广州市2014届高三年级调研测试

数 学（理 科） 2014．1

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．

5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

参考公式：

锥体体积公式
，其中
为锥体的底面积，
为锥体的高．

一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知为虚数单位， 则复数
的模等于

A．
B．
C．
D．

2．设集合
，
，则
等于

A．
B．
C．
D．

3．已知向量
，
，
，若
，则实数的值为

A．
B．
C．
D．

4．定义在上的函数
满足
则
的值为

A．
B． 2 C．
D．4

5．函数
（
，
，
）的部分图象如图1所示，则函数
对应的解析式为

A．
B．

C．
D．

6．执行如图2的程序框图，如果输入的
的值是6，那么输出的的值是

A．15 B．105 C．120 D．720

7．若点
和点
到直线
的距离依次为1和2，则这样的直线有

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

8．对于实数a和b，定义运算“*”： *
设
*
，且关于的方程为
恰有三个互不相等的实数根
，
，
，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9～13题）

9．在等比数列
中，若
，则
．

10．若，满足约束条件
则
的最大值为_______．

11．如图3，设是图中边长为4的正方形区域，是内函数
图象下方的点构成的区域．在内随机取一点，则该点落在中的概率为 ．

12．已知点在曲线
（其中为自然对数的底数）上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则
的取值范围是 ．

13．有4名优秀学生，，
，全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有 种．

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14．（几何证明选讲选做题）

如图4，
为⊙
的直径，
，弦
交
于点
．

若
，
，则
的长为 ．

15．（坐标系与参数方程选讲选做题）

若点
在曲线
（
为参数，
）上，则
的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

在△
中，角，，
所对的边分别为，
，，且
．

（1）求
的值；

（2）若
，
，求的值．

17．（本小题满分12分）

空气质量指数
(单位:
)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重．
的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：

日均浓度

0～35

35～75

75～115

115～150

150～250

＞250



空气质量类别

优

良

轻度污染

中度污染

重度污染

严重污染





从甲城市2013年9月份的30天中随机抽取15天的
日均浓度指数数据茎叶图如图5所示．

（1）试估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数；

（2）在甲城市这15个监测数据中任取个，设
为空气质量类别为优或良

的天数，求
的分布列及数学期望．

18．（本小题满分14分）

在如图6的几何体中，平面
为正方形，平面
为等腰梯形，
∥
，
，
，
．

（1）求证：
平面
；

（2）求直线
与平面
所成角的正弦值．

19．（本小题满分14分）

已知数列{an}满足
，
，
．

（1）求证：数列
为等比数列；

（2）是否存在互不相等的正整数，，，使，，成等差数列，且
，
，

成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的，，；如果不存在，请说明理由．

20．（本小题满分14分）

设函数

，
.

（1）若曲线
与
在它们的交点
处有相同的切线，求实数，
的值；

（2）当
时，若函数
在区间
内恰有两个零点，求实数的取值范围；

（3）当
，
时，求函数
在区间
上的最小值．

21．（本小题满分14分）

如图7，已知椭圆
的方程为
，双曲线
的两条渐近线为
．

过椭圆
的右焦点作直线
，使
，又
与
交于点，设
与椭圆
的两个交点由上至下

依次为，．

（1）若
与
的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，

求椭圆
的方程；

（2）求
的最大值．

广州市2014届高三年级调研测试

数学（理科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案及评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

C

A

D

A

B

C

A





二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．

题号

9

10

11

12

13

14

15



答案

3

4





36

1







三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

解：（1）在△
中，
．………………………………………………………………1分

所以
…………………………………………………………………………2分

．………………………………………………………………………3分

所以
……………………………………………………………………………5分

．………………………………………………………………………………………7分

（2）因为
，
，
，

由余弦定理
，………………………………………………………………9分

得
．……………………………………………………………………………………11分

解得
．……………………………………………………………………………………………12分

17．（本小题满分12分）

解：（1）由茎叶图可知，甲城市在2013年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或良的天数

为5天．…………………………………………………………………………………………………1分

所以可估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10天．…………2分

（2）
的取值为0，1，2，………………………………………………………………………………3分

因为
，………………………………………………………………………5分

，……………………………………………………………………………7分

．…………………………………………………………………………9分

所以
的分布列为：



1















所以数学期望
．…………………………………………………12分

18．（本小题满分14分）

（1）证明1：因为
，
，

在△
中，由余弦定理可得
．……………………………………………………2分

所以
．

所以
．………………………………………………………………………………………3分

因为
，
，
、
平面
，

所以
平面
．………………………………………………………………………………4分

证明2：因为
，设

，则
．

在△
中，由正弦定理，得
．…………………………………………1分

因为
，所以
．

整理得
，所以
．…………………………………………………………………2分

所以
．………………………………………………………………………………………3分

因为
，
，
、
平面
，

所以
平面
．………………………………………………………………………………4分

（2）解法1：由（1）知，
平面
，
平面
，

所以
．

因为平面
为正方形，所以
．

因为
，所以
平面
．……………………………………………………6分

取
的中点
，连结
，
，

因为
是等腰梯形，且
，
，

所以

．所以△
是等边三角形，且
．…………………………7分

取
的中点
，连结
，
，则
．………8分

因为
平面
，
，所以
．

因为
，所以
平面
． ……………9分

所以
为直线
与平面
所成角． ……………10分

因为
平面
，所以

．…………………11分

因为
，
，…………………………………………12分

在
△
中，
．……………………………………………………13分

所以直线
与平面
所成角的正弦值为