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惠州市2014届高三第三次调研考试 数 学(理科） 本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 参考公式：如果事件互斥，那么 如果事件相互独立，那么 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 若复数是纯虚数，则实数的值为（ ） . . .或 . 2．已知集合，集合，则（ ） . . . . 3．设等比数列的公比，前项和为，则（ ） . . . . 4. 执行右边的程序框图，若，则输出的（ ） . . . . 5. 设椭圆的右焦点与抛物线 的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（ ） ． ． ． ． 6．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为（ ） . 万元 ．万元 ．万元 ．万元 7. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积是（ ） ． ． ． ． 8．已知函数则对于任意实数, 则的值为（ ） A．恒正 B.恒等于 C．恒负 D. 不确定 二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．设随机变量服从正态分布，若，则的值为 ． 10. 已知向量，，且，则 ． 11. 某班级要从名男生、名女生中选派人参加社区服务，如果要求至少有名女生，那么不同的选派方案种数为 ．（用数字作答） 12. 若，且当时，恒有，则以,为坐标点所形成的平面区域的面积等于 ． 13. 对于，将表示为，当时，；当时，为0或1. 定义如下：在的上述表示中，当中等于1的个数为奇数时，；否则.则 ． （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是____________． 15.（几何证明选讲选做题）如图,已知圆中两条弦与相交于点, 是延长线上一点,且，, 若与圆相切,则线段的长为 ． 三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．） 16．（本小题满分12分） 在中，角为锐角,记角所对的边分别为，设向量 ，且与的夹角为． （1）计算的值并求角的大小； （2）若，求的面积． 17．（本题满分12分） 甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队人，每人回答一个问题，答对为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用表示甲队的总得分． （1）求随机变量的分布列和数学期望； （2）用表示“甲、乙两个队总得分之和等于”这一事件，用表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求． 18.（本小题满分14分） 如图，平行四边形中，，，，沿将折起，使二面角是大小为锐角的二面角，设在平面上的射影为． （1）求证：； （2）当为何值时，三棱锥的体积最大？最大值为多少？ ? ? ? ? 19．（本小题满分14分） 正项数列的前项和满足:． (1)求数列的通项公式; (2)令,数列的前项和为，证明:对于任意的,都有． 20．（本小题满分14分） 如图，已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，动点的轨迹为． （1）求曲线的方程； （2）设是曲线上的一个定点，过点任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线相交于另外两点、， 证明：直线的斜率为定值． 21．（本小题满分14分） 已知函数． （1）若，试确定函数的单调区间； （2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围； （3）设函数，求证：．
惠州市2014届高三第三次调研考试 数学 (理科）参考答案与评分标准 一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C B A C D A 1.【解析】1.由且得，选B； 2.【解析】集合，集合B为函数的定义域，所以，所以（1，2]。故选D 3【解析】解：故选C 4.【解析】解：，因此输出故选B 5.【解析】抛物线的焦点为（2，0），∴椭圆焦点在x轴上且半焦距为2， ∴，∴，∴椭圆的方程为 故选A。 6.【解析】设11时到12时的销售额为万元，依设有，选C 7. 【解析】从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为 故选D 8.【解析】【答案】A 解析:,可知函数所以函数为奇函数,同时，也是递增函数,注意到，所以同号,所以,选A 二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9． 10．3 11．14 12．1 13．1 14． 15． 9.【解析】因为，所以得 10.【解析】由题意 11.【解析】6人中选4人的方案种，没有女生的方案只有一种，所以满足要求的方案总数有14种。 12. 【解析】本小题主要考查线性规划的相关知识。由恒成立知，当时， 恒成立，∴；同理，∴以,b为坐标点 所形成的平面区域是一个正方形，所以面积为1. 13.【解析】依题意有 ，；，； ，；，. 故 14.【解析】曲线即，表示圆心在（1，0），半径等于1的圆，直线即直线，故圆心到直线的距离为1。 15.【解析】设，则，由得。又 得 三、解答题： 16. （本小题满分12分） 解：（1） 3分 ， 5分 7分 （2）(法一) ,及, , 即(舍去)或 10分 故 12分 (法二) ,及, . 7分 , , . 10分 故 12分 17（本小题满分12分） 解：（1）解法一：由题意知，的可能取值为0，1，2，3，且 …………1分 ，，…………3分 ，．…………5分 所以的分布列为 0 1 2 3 的数学期望为．…………7分 解法二：根据题设可知，，…………3分 因此的分布列为．…………5分 因为，所以．…………7分 （2）解法一：用表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以，且互斥，又…………8分 ，…………10分 ，…………11分 由互斥事件的概率公式得．…………12分 解法二：用表示“甲队得分”这一事件，用表示“乙队得分”这一事件，． 由于事件，为互斥事件，故有． 由题设可知，事件与独立，事件与独立，…………10分 因此 ．…………12分 18（本小题满分14分） 解: (1)∵平面，，…1分 ∵，…3分 …4分 又 ∴， ……5分 ……6分 ∴. ……7分 （2）由题知为在平面上的射影， ∵，平面，∴， ∴， …………8分 ………9分 ………10分 ， ………12分 当且仅当，即时取等号， ………13分 ∴当时，三棱锥的体积最大，最大值为． ……14分 说明：向量法酌情给分 19（本小题满分14分） (1)解:由,得. ………2分 由于是正项数列,所以. …………3分 于是时,. ………5分 综上,数列的通项. …………………6分 (2)证明:由于. …………7分 则. …………9分 ……11分 …………13分 . …………14分 20（本小题满分14分）解：（1）（法1）设，因为点在圆上， 且点关于圆心的对称点为， 所以， …………1分 且圆的直径为．…………2分 由题意，动圆与轴相切， 所以，两边平方整理得：， 所以曲线的方程． ……………………………………6分 （法2）因为动圆过定点且与轴相切，所以动圆在轴上方， 连结，因为点关于圆心的对称点为，所以为圆的直径． 过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为（如图6－1）． 在直角梯形中，， 即动点到定点的距离比到轴的距离1．…………………3分 又动点位于轴的上方（包括轴上）， 所以动点到定点的距离与到定直线的距离相等． 故动点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线． 所以曲线的方程． ……………6分 （2）①（法1）由题意，直线的斜率存在且不为零，如图6－2． 设直线的斜率为（），则直线的斜率为． ………………7分 因为是曲线：上的点， 所以，直线的方程为． 由，解得或， 所以点的坐标为，……………9分 以替换，得点的坐标为． ……………10分 所以直线的斜率为定值．………14分 （法2）因为是曲线：上的点，所以，． 又点、在曲线：上，所以可设，， ……7分 而直线，的倾斜角互补， 所以它们的斜率互为相反数，即，……9分 整理得．……10分 所以直线的斜率…11分 …13分 …14分为定值．………14分 21（本小题满分14分） 解：（1）由得，所以．……2分 由得，故的单调递增区间是， 由得，故的单调递减区间是…………4分 （2）由可知是偶函数． 于是对任意成立等价于对任意成立．……5分 由得． ①当时，． 此时在上单调递增．故，符合题意．…6分 ②当时，． 当变化时的变化情况如下表： 单调递减 极小值 单调递增 由此可得，在上，． 依题意，，又． 综合①，②得，实数的取值范围是．……9分 （3），……10分 ，…11分 ， ，…， 由此得，………13分 故．…………14分 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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