2014届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考

文科数学

命题学校：深圳中学

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内.

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4．考生必须保持答题卡的整洁.

第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项符合要求．

1.已知
是虚数单位，
，则

A.
B.
C.
D.

2.若向量
，则

A.
B.
C.
D.

3.若集合
，
，则“
”是“
”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.执行如图所示的程序框图，输出的
值为

A．
B.
C.
D.

5.已知
，
，
，则

A.
B.
C.
D.

6.函数

的部分图象如图所示，则
的值分别是

A．
B.
C.
D.

7.下列函数在定义域内为奇函数，且有最小值的是

A.
B.
C.
D.

8.某几何体的三视图如图所示,其中正（主）视图与侧（左）

视图的边界均为直角三角形，俯视图的边界为直角梯形，

则该几何体的体积是

A.
B.
C.
D.

9.已知约束条件对应的平面区域
如图所示，其中
对应的

直线方程分别为：
，若目

标函数
仅在点
处取到最大值，则有

A．
B.

C.
D.
或

10.已知圆
：

，则下列命题：①圆
上的点到
的最短距离的最小值为
；②圆
上有且只有一点
到点
的距离与到直线
的距离相等；③已知
，在圆
上有且只有一点
，使得以
为直径的圆与直线
相切.真命题的个数为

A．
B.
C.
D.

第II卷（非选择题 共100分）

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.

11. 不等式
的解集为 .

12. 与双曲线
过一、三象限的渐近线平行且距离为
的直线方程为 .

13. 已知数列
中，
，且
，则
的值为 .

选做题（请考生在以下两小题中任选一题做答，若两小题都做，则按第14题记分）

14．（几何证明选讲选做题）如图，过点
作
的外接圆
的

切线交
的延长线于点
.若
，
，

则
.

15．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系

中，点
关于直线
的对称点的极坐标为 .

三、解答题：本大题6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16. （本小题满分12分）

在
中，角
所对的边为
，角
为锐角，若
，
且
.

（1）求
的大小；

（2）若
，求
的面积
.

17. （本小题满分12分）

对某电子元件进行寿命追踪调查，所得情况如右

频率分布直方图.

（1）图中纵坐标
处刻度不清，根据图表

所提供的数据还原
；

（2）根据图表的数据按分层抽样，抽取
个元件，

寿命为
之间的应抽取几个；

（3）从（2）中抽出的寿命落在
之间的元件中任取
个元件，求事件“恰好有一个寿命为
，一个寿命为
”的概率.

18. （本小题满分14分）

已知长方体
，点
为
的中点.

（1）求证：
面
；

（2）若
，试问在线段
上是否存在点

使得

，若存在求出
，若不存在，说明理由.

19. （本小题满分14分）

数列
，
满足

.

（1）若
是等差数列，求证：
为等差数列；

（2）若
，求数列
的前
项和
.

20. （本小题满分14分）

已知椭圆
：
的离心率为
且与双曲线
：
有共同焦点.

（1）求椭圆
的方程；

（2）在椭圆
落在第一象限的图像上任取一点作
的切线
，求
与坐标轴围成的三角形的面积的最小值；

（3）设椭圆
的左、右顶点分别为
，过椭圆
上的一点
作
轴的垂线交
轴于点
，若
点满足
，
，连结
交
于点
，求证：
.

21. （本小题满分14分）

已知函数
（
为自然对数的底数）.

（1）求函数
在
上的单调区间；

（2）设函数
，是否存在区间
，使得当
时函数
的值域为
，若存在求出
，若不存在说明理由.

2014届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考

参考答案与评分标准

文科数学 2014-01-16

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项

中，只有一项符合要求．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

B

A

D

B

A

D

C

B

D



1.【解析】

2.【解析】

3．【解析】

4．【解析】

5.【解析】
，
，

6．【解析】由图知
在
时取到最大值
，且最小正周期
满足

故


，

.所以

或由
逐个检验知

7.【解析】
，
且

8.【解析】由三视图可知该几何体是一个四棱锥,根据“正侧等高，正俯等长，侧俯等宽”的规则，其体积为

9.【解析】
是
与
的交点，目标函数
仅在点
处取到最大值，所以直线

的倾斜角比
的要大，比
的要小，即有

10.【解析】已知动圆
的圆心的轨迹方程为：
，所以动圆
构成的轨迹为夹在抛物线
和抛物线
之间的部分（包括边界），所以①②③都满足题意

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.

11.
； 12.
； 13.
；

14.
； 15.

11．【解析】

12．【解析】双曲线
过一、三象限的渐近线方程为：

设直线方程为：
所以
，解得

13．【解析】
由
，得
，由

得
，由
得
，由
得
，由

得
，
得
由此推理可得
是一个周期为
的数列，所以

14. 【解析】由
知

，解得

由
得
，即

15. 【解析】

如图，在极坐标系
中，设
关于

直线
的对称点为
则
，且

从而
即

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16. （本小题满分12分）

在
中，角
所对的边为
，角
为锐角，若
，

且
.

（1）求
的大小；

（2）若
，求
的面积
.

解：（1）由
可得
即
…………………………………………1分

…………………………………3分

………………………………5分

………………………………6分

（2）
由（1）知
，

………………………………8分

………………………………10分

………………………………12分

17. （本小题满分12分）

对某电子元件进行寿命追踪调查，所得情况如下频率分布直方图

（1）图中纵坐标
处刻度不清，根据图表所提供的数据还原
；

（2）根据图表的数据按分层抽样，抽取
个元件，寿命为
之间的应抽取几个；

（3）从（2）中抽出的寿命落在
之间的元件中任取
个元件中，求事件“恰好有一个寿命为
，一个寿命为
”的概率；

解（1）根据题意：

解得
………………………………3分

（2）设在寿命为
之间的应抽取
个，根据分层抽样有：

………………………5分

解得：

所以应在寿命为
之间的应抽取
个………………………………7分

（3）记“恰好有一个寿命为
，一个寿命为
”为事件
，由（2）知寿命落在
之间的元件有
个分别记
，落在
之间的元件有
个分别记为：
，从中任取
个球，有如下基本事件：

，
，共有
个基本事件………9分

事件
“恰好有一个寿命为
，一个寿命为
”有：

，
共有
个基本事件………10分

……………………………11分

答：事件“恰好有一个寿命为
，另一个寿命为
”的概率为
.12分

18. （本小题满分14分）

已知长方体
，点
为
的中点

（1）求证：
面
；

（2）若
，试问在线段
上是否存在点

使得

，若存在求出
，若不存在，说明理由；

（1）证明：

连结
交
于点
，所以
为
的中点，连结

在
中，
为
的中点

……………………………4分

面
且
面

面
……………………………7分

（2）若在线段
上存在点
得

，连结
交
于点

面
且
面

又
且
面

面

面

……………………………10分

在
和
中有：

同理：

……………………………12分

即在线段
上存在点
有
…………14分

19. （本小题满分14分）

数列
，
满足

.

（1）若
是等差数列，求证：
为等差数列；

（2）若
，求数列
的前
项和
.

（1）证明：由题
是等差数列，设
的公差为

①；

有
②…………3分

②-①可得：

即

…………5分

是公差为
的等差数列…………7分

（2）记
，

①
②

①-②得：

，

…………11分

…………13分

…………14分

20. （本小题满分14分）

已知椭圆
：
的离心率为
且与双曲线
：
有共同焦点.

（1）求椭圆
的方程；

（2）在椭圆
落在第一象限的图像上任取一点作
的切线
，求
与坐标轴围成的三角形的面积的最小值；

（3）设椭圆
的左、右顶点分别为
，过椭圆
上的一点
作
轴的垂线交
轴于点
，若
点满足
，
，连结
交
于点
，求证：
.

解：（1）由
可得：
即

①………………………2分

又
即
②联立①②解得：

椭圆
的方程为：
……………………3分

（2）

与椭圆
相切于第一象限内的一点，
直线
的斜率必存在且为负

设直线
的方程为：

联立
消去
整理可得：

③，………………4分

根据题意可得方程③只有一实根，

整理可得：
④………………6分

直线
与两坐标轴的交点分别为
且
………………7分

与坐标轴围成的三角形的面积
⑤，………………8分

④代入⑤可得：
（当且仅当
时取等号）…………9分

（3）由（1）得
，设
，

，
可设
，

由
可得：
即
…………11分

直线
的方程为：
整理得：

点
在
上，令
代入直线
的方程可得：
，…………13分

即点
的坐标为


为
的中点

…………14分

21. （本小题满分14分）

已知函数
（
为自然对数的底数）

（1）求函数
在
上的单调区间；

（2）设函数
，是否存在区间
，使得当
时函数
的值域为
，若存在求出
，若不存在说明理由.

解：（1）
…………1分

①当
时，由
恒成立，
在
上单调递增…………2分

②当
时，
解得
或

（ⅰ）若
，则

在
上单调递减，在
上单调递增…………4分

（ⅱ）若
，则

在
和
上单调递增，

在
上单调递减…………6分

综上所述：当
时，
的单调递减区间为：
，

单调递增区间为：
；

当
时，
的单调递减区间为：

单调递增区间为：
和
；

当
时，单调递增区间为：
.…………7分

(2)由题意
，
…………8分

假设存在区间
，使得当
时函数
的值域为
，即
，

当
时
，
在区间
单调递增………9分

，即方程
有两个大于
的相异实根…………10分

设

，

…………11分

设

，
，
在
上单调增，又
，即存在唯一的
使
.………12分

当
时，
，
为减函数；当
时，
，
为增函数；
在
处取到极小值.又
………13分

在
只存在一个零点，与方程
有两个大于
的相异实根相矛盾，所以假设不成立，所以不存在
符合题意. …………………………14分