高三数学(理)

2014. 01

本试卷共4页，分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟，

第I卷（选择题共60分）

注意事项：

1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．

2．每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号，

一、选择题：本大墨共12小题．每小恿5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．

1.
则

(A)
(B)
(C)
(D)

2．下列命题中的假命题是

(A)
(B)

(C)
(D)

3．“
”是“直线
与直线
互相垂直”的

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

4．函数
的零点个数是

(A)0 (B)l (C)2 (D)4

5．某学校从高二甲、乙两个班中各选6名同掌参加数学竞赛，他们取

得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是

85，乙班学生成绩的平均分为81，则x+y的值为

(A)6 (B)7

(C)8 (D)9

6．函数
的图象大致是

7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

(A)
(B)
(C)
(D)

8．函数
的最小正周期为
，

若其图象向右平移
个单位后关于y轴对称，则

(A)
(B)

(C)
(D)

9．已知双曲线
的顶点恰好是椭圆
的两个顶点，且焦距是
，则此双曲线的渐近线方程是

(A)
(B)
(C)
(D)

10．等差数列
的前n项和为
，且
，则

(A)8 (B)9 (C)1 0 (D) 11

11．已知不等式
的解集为
，点
在直线
上，其中
，则
的最小值为

(A)
(B)8 (C)9 (D) 12

12．已知函数
，若
恒成立，则实数a的取值范围是

(A)
(B)

(C)
(D)

第Ⅱ卷 （非选择题共90分）

注意事项

1．将第Ⅱ卷答案用0. 5mm的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上．

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13．已知
，则
=____________.

14．在边长为1的正方形ABCD中,E、F分别为BC、DC的中

点，则
__________.

15．过抛物线
的焦点且倾斜角为
的直线被圆
截得的

弦长是__________．

16．已知正四棱柱
的外接球直径为
，底面边长
，则侧棱
与平面
所成角的正切值为_________。

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知向量
．

(I)求函数
的单调增区间；

(Ⅱ)已知锐角△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c．其面积
，
求b+c的值．

18．（本小题满分12分）

如图，在几何体
中，点
在平面ABC

内的正投影分别为A，B，C，且
，

,E为
中点，

(I)求证；CE∥平面
，

(Ⅱ)求证：求二面角
的大小．

19．（本小题满分12分）

已知各项均不为零的数列
，其前n项和
满足
；等差数列
中
，且
是
与
的等比中项

(I)求
和
，

(Ⅱ)记
，求
的前n项和
。

20．（本小题满分12分）

交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反

映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T．其

范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通;

T∈[2，4)基本畅通; T∈[4，6）轻度拥堵; T∈[6，

8)中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵，

晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20

个交通路段，依据其交通指数数据绘制直方图如图所示．

(I)这20个路段轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？

(Ⅱ)从这20个路段中随机抽出的3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列及期望．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆
的左、右焦点分别为
，离心率为
，P是椭圆上一点，且
面积的最大值等于2．

(I)求椭圆的方程；

(Ⅱ)直线y=2上是否存在点Q，使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由。

22．（本小题满分14分）

已知函数
的定义域为
，对定义域内的任意x，满足
，当
时，
（a为常），且
是函数
的一个极值点，

(I)求实数a的值；

(Ⅱ)如果当
时，不等式
恒成立，求实数m的最大值；

（Ⅲ）求证：