广东省信宜中学2014届高三期末调研文科数学试题

（本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.

1.已知集合
，则 （ ）

A.
B.
C.
D.

2.复数
等于（ ）

A.
B.
C.
D.

3.在数列
中，
，公比
，则
的值为（ ）

A．7 B．8 C．9 D．16

4.某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为（ ）

A．40 B．36 C．30 D．20

5.下列函数中，既是偶函数，又是在区间
上单调递减的函数是（ ）

A．
B．
C．
D．

6.已知平面向量
的夹角为
，且
，
，则
等于（ ）

A.
B.
C.
D.

7.若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积是（ ）

A.
B.
C.
D.

8.执行如图所示程序框图．若输入
，则输出的
值是（ ）

A．
B．
C．
D．

9.圆
与直线
相切于第三象限，则
的值是（ ）．

A．
B．
C．
D．

10.设函数
有三个零点
，

且
则下列结论正确的是（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．

11.在
中，若
，则
= .

12.不等式组
表示的平面区域的面积是 .

13.定义映射
，其中
，
，已知对所有的有序正整数对
满足下述条件:①
，②若
，
；

③
，则
.

14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，
为极点，直线过圆
：
的圆心
，且与直线
垂直，则直线的极坐标方程为 ．

15.(几何证明选讲选做题) 如图示，
是半圆周上的两个三等分点，直径
，
，垂足为
，则
的长为 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16.（本小题满分12分）已知函数
.（1）求函数
的最小正周期和最小值；（2）若
，
，求
的值.

组别

候车时间

人数



一



2



二



6



三



4



四



2



五



1



17.（本小题满分12分）为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示：

（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；

（2）若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．

18.（本小题满分14分）在正方体
中，棱长为2，
是棱
上中点，
是棱
中点，

（1）求证：
面
；（2）求三棱锥
的体积．

19．（本小题满分14分）设数列
的前
项和为
，点
在直线
上，
．（1）证明数列
为等比数列，并求出其通项；

（2）设
，记
，求数列
的前
和
．

20．（本小题满分14分）如图，
,
是椭圆
的两个

顶点,
，直线
的斜率为
．

求椭圆的方程；（2）设直线平行于
，

与
轴分别交于点
，与椭圆相交于
，

证明：△
的面积等于△
的面积．

21．(本小题满分14分）已知函数
，
，
（1）若
，求函数
的极值；

（2）若函数
在
上单调递减，求实数
的取值范围；

（3）在函数
的图象上是否存在不同的两点
，使线段
的中点的横坐标
与直线
的斜率
之间满足
？若存在，求出
；若不存在，请说明理由.

广东省信宜中学2014届高三期末调研文科数学答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

D

B

C

D

C

A

C

C

C



【解析】

1.
，故
，选C

2.
，选D

3.数列
为
，
等比数列，
，选B

4.设从乙社区抽取
户，则
，解得
，选C

5.
不是偶函数，
是周期函数，在区间
上不是单调递减，
在区间
上单调递增，故选D。

6.
，选C

7.由三视图可知，三棱柱的高为1，底面正三角形的高为
，所以正三角形的边长为2，所以三棱柱的侧面积为
，两底面积为
，所以表面积为
，选A.

8.

，故选C

9.
解得
，因为圆与直线相切于第三象限，由图可知，
，故选C。

10．
，令
故















+

0

—

0

+





递增

极大值

递减

极小值

递增



又因为
，
，
，
，综合以上信息可得示意图如右，由图可知，
<1，选C.

二、填空题11.
12.
13.2 14.
15.

【解析】11.由余弦定理
解得

12.不等式组表示的可行域如图所示，故面积为

13.由题意可知，
，
，

14. 圆C的直角坐标方程为
，故圆心C为
，过圆心且与OC垂直的直线为
，转为极坐标方程为
。

15.依题意知
,则
,

,代入解得
。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16.解：（1）已知函数即
……………………………2分

… ………………………………………………………3分

当
时，即
，…………………………4分

…………………………………………………………6分

（2）
……………8分

由
，
，解得：
………10分

……………………………………11分

所以
…………………………………12分

17.解：（1）由频率分布表可知：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8，

所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于
人.…4分

（2）设第三组的乘客为
，第四组的乘客为1，2；

“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件
.………………………………5分

所得基本事件共有15种，即：

…………………8分

其中事件
包含基本事件
，共8种，………10分

由古典概型可得
， ………………………12分

18.解：（1）取
中点
，连接
，

则
为中位线，
，…………2分

而正方体
，
是棱
上中点，

故
，………………4分

，所以四边形
为平行四边形。

， ……………6分

而
面
，
面
，

故
……………………………8分

（2）正方体
中，
，故
为高，
………10分

…………12分

故
………14分

19.解：（1）
…………………………………1分

时，
………………2分

时，
，
………………………3分

两式相减得：
，
，………5分

是以
为首项，
为公比的等比数列. ………………6分

…………………………………………7分

，则
，…………9分

①

②…………………10分

①-②得：
……………11分

…………13分

……14分

20．（1）解：依题意，
，
，

整理得
………………………………2分

解得
，
． ………………………………3分

所以 椭圆的方程为
． ………………………4分

（2）证明：由于//
，设直线的方程为
，将其代入
，消去
，

整理得
． ………6分

设
，
．

所以
………8分

证法一：记△
的面积是
，△
的面积是
．

由
，
，

则


………………10分

因为
，所以
，…13分

从而
． ………………………………………14分

证法二：记△
的面积是
，△
的面积是
．

则

线段
的中点重合． ………………10分

因为
，所以
，
．

故线段
的中点为
．

因为
，
，所以 线段
的中点坐标亦为
．……13分

从而
． ………………………………………14分

21.解：（1）
的定义域为
………………………………………………1分

，…………………………………………2分

故


单调递增；

单调递减，…………………3分

时，
取得极大值
，无极小值。……………………………4分

（2）
，
，

若函数
在
上单调递增，

则
对
恒成立…………………………………5分

，只需
………………6分

时，