淄博市2014届高三上学期期末考试

数学文试题

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在试卷和答题卡规定的位置。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（共60分）

注意事项：

I．第Ⅰ卷共12小题。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不涂在答题卡上，只答在试卷上不得分。

一、选择题（本大题共l2小题，每小题5分，满分60分．每小题只有一项是符合题目要求的．）

1．设集合
，集合
，则

A．
B．
C．
D．

2．复数z满足
，则复数

A．1+3i B． l-3i C．3+ i D．3-i

3．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是

A．
B．
C．
D．

4．执行如图所示的程序框图，若输出结果为3，则可输入的实数x的个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

5．已知实数a、b，则“a>b”是“
”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知，等比数列
的公比为正数，且
，
，则

A．
B．
C．
D．2

7．如图所示的三棱柱，其正视图是一个边长为2的正方形，其俯视图是一个正三角形，该三棱柱侧视图的面积为

A．
B．
C．
D．4

8．已知函数①
，②
，则下列结论正确的是

A．两个函数的图象均关于点
成中心对称

B．两个函数的图象均关于直线
对称

C．两个函数在区间
上都是单调递增函数

D．可以将函数②的图像向左平移
个单位得到函数①的图像

9．函数
的图象大致为

10．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足
，则△ABC的形状为

A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

11．已知a、b是正常数，a≠b，
，不等式
（*式）恒成立（等号成立的条件是
)，利用（*式）的结果求函数
的最小值

A.121 B.169 C.25 D．11+6

12．已知A、B、P是双曲线
上的不同三点，且A、B关于坐标原点对称，若直线PA、PB的斜率乘积
，则该双曲线的离心率等于

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（共90分）

注意事项：

1．第Ⅱ卷共10道题．

2．第Ⅱ卷所有题目的答案，考生须用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内，在试卷上答题不得分

二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卷相应位置上．）13．
_________

14．已知函数
，函数零点的个数是________

15．设z=x+y，其中x，y满足
，若z的最大值为2014，则k的值为_______．

16.给出下列命题：

①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；

②某只股票经历10个跌停（下跌10%）后需再经过10个涨停(上涨10%)就可以回到原来的净值；

③在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越差。

④某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查，现将800名学生从l到800进行编号．已知从497～513这16个数中取得的学生编号是503，则初始在第1小组1～l6中随机抽到的学生编号是7．

上述四个命题中，你认为正确的命题是___________.

三、解答题（本大题共6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且
．

（I）求A的大小；

（Ⅱ）若sin B+sin C =1，试求内角B、C的大小．

18．（本小题满分12分）

如图所示，已知三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．

（I）求证：DM∥平面APC；

（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面APC.

19.（本小题满分12分）

编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：

运动员编号

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8



得分

15

35

21

28

25

36

18

34



运动员编号

A9

A10

All

A12

A13

A14

Al5

A16



得分

17

26

25

33

22

12

31

38





(I)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：

区间

[10，20)

[20，30)

[30，40]



人数











(II)从得分在区间[20，30)内的运动员中随机抽取2人：

①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；

②求这2人得分之和大于50的概率．

20．（本小题满分12分）

等差数列
中，
，其前n项和为
，等比数列
中各项均为正数，b1 =1，且
，数列{bn}的公比
．

（I）求数列
与
的通项公式；

（Ⅱ）证明：
．

21．（本小题满分13分）

已知动圆C与圆
相外切，与圆
相内切，设动圆圆心C的轨迹为T，且轨迹T与x轴右半轴的交点为A．

（I）求轨迹T的方程；

(Ⅱ)已知直线l：y=kx+m与轨迹为T相交于M、N两点（M、N不在x轴上）．若以MN为直径的圆过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

22.（本小题满分13分）已知函数
，
（a为实数）．

（I)）当a=5时，求函数
在
处的切线方程；

（lI）求
在区间[t，t+2]（t >0）上的最小值；

（III）若存在两不等实根
，使方程
成立，求实数a的取值范围．

2014届高三上学期期末考试数学试题

答案（文理）（阅卷）

一、选择题

1．D 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．A 8．C
9．D 10．C B 11．（文理）C 12． D

二、填空题：

13．（理）
，（文）0；14． 2；15． 1007；16．（理）
，（文）①④．

17．（本小题满分12分）

解析：（Ⅰ）∵
，由余弦定理得：
，

故

………………6分

（Ⅱ）∵
，∴
，

∴
，
，………………8分

方法一：∴
，∴
， ………………10分

又∵
为三角形内角，
，

故
，从而
． ………………12分

方法2：
，解得
………………10分

又∵
为三角形内角，故
． ……………12分

（注：处理角C同等对待！）

18．（本小题满分12分）

（理）

解析：（Ⅰ）如图，连接AC交BD于F，再连接EF； ……………………1分

因为四边形ABCD为正方形，所以F为AC中点； ……………………3分

又因为E为PC中点，所以EF//PA； ……………………5分

因为EF
平面BDE，PA
平面BDE，且EF//PA，

所以PA //平面BDE； ……………………6分

（Ⅱ）

方法一：如图所示，以
为坐标原点，分别以
、
、
所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0）．

．（只建系无坐标不得分） ………………7分

设
是平面BDE的一个法向量，

则由
，得
，即
………………9分

又
是平面
的一个法向量． ……………10分

设二面角B―DE―C的平面角为
，

∴
．

故二面角B―DE―C平面角的余弦值为
． ……………12分

方法二：因为
，
，所以
平面CDP，
；

又因为△CDP为等腰直角三角形，E为CP的中点，所以
；

因为
，
，所以
平面BCP，
；

由于
，
，故二面角B―DE―C的平面角为
；………………8分

在△BCE中，
，
，

，

所以
， ……………10分

故二面角B―DE―C平面角的余弦值为
． ……………12分

（文）

证明：(Ⅰ)由已知，M为AB的中点，D为PB的中点，

所以MD是△ABP的中位线，所以MD∥AP． ………………………3分

又MD
平面APC，AP
平面
APC，故MD∥平面APC． ………………………6分

(Ⅱ)因为△PMB为正三角形，D为PB的中点，所以MD⊥PB．

又因为MD∥AP，所以AP⊥PB． ………………………7分

又AP⊥PC，AP⊥PB，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC． ………………………8分

因为BC?平面PBC，所以AP⊥BC． ………………………9分

又BC⊥AC，且BC⊥AP，AC∩AP＝A，所以BC⊥平面APC． ………………………11分

因为BC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC． …………………………12分

19．（本小题满分12分）

（理）

解析：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），

由已知得：
…………2分

（Ⅰ）
…………4分

所以当
时，S取得最大值． …………6分

（Ⅱ）
． …………8分

由
由
得：
（舍）或x=20．

当
时，
；

当
时，
；

所以当x=20时，V取得极大值，也是最小值． …………10分

此时
，装盒的高与底面边长的比值为
…………12分

（文）

解析：（Ⅰ）4，6，6； …………4分

（Ⅱ）①得分在区间[20，30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13．

从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}，共15种． …………8分

②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”（记为事件B）的所有可能结果有：{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}，共5种．

所以P(B)＝＝． …………12分

20．（本小题满分12分）

解析：（Ⅰ）由于
，可得
，………………2分

解得：
或
（舍去）， ………………………3分

，
， ………………………4分

………………………5分

………………………6分

（Ⅱ）证明：由
，得
………………………7分

…………9分

…………11分

故
…………12分

21．（本小题满分12分）

解析： （Ⅰ）
，
，∴
+
= 4 ………2分

∴点C的轨迹是以
、
为焦点（c=1），长轴长2a= 4的椭圆 ………………4分]

∴点C的轨迹T的方程是
……………………………………6分

（Ⅱ）设
，
，

将
代入椭圆方程得：
．

． （*式） ……………………………8分

为直径的圆过点
，
点的坐标为（2，0），

，即
． ……………………………10分

，
，
，代入（*式）得：
，

或
都满足
， ……………………12分

由于直线
：
与x轴的交点为（
），

当
时，直线
恒过定点
，不合题意舍去，

，直线
：
恒过定点
．………………………13分

22． （本小题满分13分）

（理）

解析:(Ⅰ) 由点
处的切线方程与直线
平行，得该切线斜率为2，即

，且
，所以
，…………1分

,





















单调递减

极小值(最小值)

单调递增





………………………2分

①
,即
时,
；………………………3分

②
,即
时,
在
上单调递增,
；……………4分

(Ⅱ)
恒成立等价于
恒成立； ………………………5分

设
,则
；

当
,
,
单调递减；

当
,
,
单调递增；

所以
. ………………………6分

因为对一切
,
恒成立，需要
.………………………8分

(Ⅲ)
恒成立等价于
恒成立；

由（Ⅰ）可知
的最小值是
（当且仅当
取等号） …10分

设
,则
；

易得
（当且仅当
取等号）. ……………12分

由于
,从而对一切
,都有
成立. ……………13分

（文）

解析:(Ⅰ)当
时
,
. ………1分

，故切线的斜率为
. ………2分

所以切线方程为:
,即
. ………4分

(Ⅱ)
,





















单调递减

极小值(最小值)

单调递增





………6分

①当
时,在区间
上
为增函数,

所以
………7分

②当
时,在区间
上
为减函数,在区间
上
为增函数,

所以
………8分

(Ⅲ) 由
，可得：
， ………9分

,

令
,
.





















单调递减

极小值(最小值)

单调递增



 ………11分

,
,
.

. ………12分

实数
的取值范围为
. ………13分